Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao número de empregados é dada por d P / d x=8-0 , 0 6 x, quantos empregados são necessários para produzir 148 carros por dia? Considere que sem empregados não há produção. R: 20 operários.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a produtividade marginal de automóveis em função do número de empregados dada por dPdx=8-0,06x. Queremos saber quantos empregados x são necessários para que a produção total diária P(x) seja 148 carros, sabendo que P(0)=0. O conteúdo envolve integração de uma taxa marginal e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Para encontrar a produção total P(x), integramos a produtividade marginal. Integrando, temos
P(x)=integral(8-0,06x),dx=8x-0,06x^22+C=8x-0,03x^2+C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial P(0)=0. Substituindo x=0 em P(x):
0=8cdot0-0,03cdot0^2+Cimplies C=0
Logo, P(x)=8x-0,03x^2.

Passo 4

Impondo P(x)=148, obtemos a equação
8x-0,03x^2=148
que podemos reorganizar como
0,03x^2-8x+148=0

Passo 5

Para resolver essa quadrática usamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos primeiro o discriminante:
De
x=8pmraiz46,242cdot0,03=8pm6,80,06
Isso dá as raízes x1=8-6,80,06=20 e x2=8+6,80,06approx246,7. Como queremos o menor número de empregados que atinja 148 carros/dia, escolhemos x=20.

Resposta

20 operários

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