O produto de dois números negativos é 100. Determine estes números sabendo que a soma deles tem o maior valor possível.

Passo 1

O enunciado pede dois números negativos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a maior possível. O conteúdo aqui é otimização com restrição implícita, que faremos reduzindo a um problema de uma variável e usando derivada para achar o extremo.

Passo 2

Sejam x e y os números negativos. A condição de produto é
x\,y = 100.
Como x\neq0, podemos isolar
y = \frac{100}{x}.

Passo 3

A soma que queremos maximizar é
S(x) = x + y = x + \frac{100}{x},
sempre lembrando que x<0 (e portanto y<0).

Passo 4

Para encontrar extremos, derivamos S em relação a x:
S'(x) = 1 - \frac{100}{x^2}.

Passo 5

Igualando a zero para achar pontos críticos:
1 - \frac{100}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 100 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 10.
Como precisamos de x<0, ficamos com x=-10. Então
y = \frac{100}{-10} = -10.

Passo 6

Verificamos que para x<0, S'(x)>0 se -10<x<0 e S'(x)<0 se x<-10, indicando máximo em x=-10. Nos extremos x\to0^- ou x\to-\infty, S(x)\to -\infty, logo o ponto encontrado é o máximo global.

Resposta

Os dois números são -10 e -10.

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