O produto de dois números negativos é 100. Determine estes números sabendo que a soma deles tem o maior valor possível.
Passo 1
O enunciado pede dois números negativos cujo produto seja
e cuja soma seja a maior possível. O conteúdo aqui é otimização com restrição implícita, que faremos reduzindo a um problema de uma variável e usando derivada para achar o extremo.
Passo 2
Sejam
e
os números negativos. A condição de produto é
Como
, podemos isolar
Passo 3
A soma que queremos maximizar é
sempre lembrando que
(e portanto
).
Passo 4
Para encontrar extremos, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Igualando a zero para achar pontos críticos:
Como precisamos de
, ficamos com
. Então
Passo 6
Verificamos que para
,
se
e
se
, indicando máximo em
. Nos extremos
ou
,
, logo o ponto encontrado é o máximo global.
Resposta
Os dois números são
e
.