Sabemos que a partir de um cone circular invertido, obtemos um coador cortando-se o vértice. Suponha que o raio da base de um cone é igual a 10 cm e altura do cone é igual a 20 cm . Se ao passar o café no coador obtido deste cone, observa-se que o café sai a uma taxa de
, encontre a taxa a qual o nível do café diminui quando estiver a 10 cm da base. (observação:
)
Passo 1
O enunciado descreve um coador obtido de um cone circular invertido de raio da base igual a
,cm e altura igual a
,cm. Ao passar o café, o volume
do líquido dentro do coador diminui à taxa de
,L/min. Queremos achar a taxa de variação da altura do café, digamos
, no instante em que o nível do café está a
,cm da base do cone (note que isso corresponde a uma altura de
,cm medida a partir do vértice). O conteúdo é “taxas relacionadas” usando semelhança de triângulos e a fórmula do volume de um cone.
Passo 2
Chamando
o raio do círculo de superfície livre do líquido quando a altura é
, pela semelhança de triângulos entre o pequeno cone de líquido e o cone todo temos
Logo
Passo 3
A volume de um cone de raio
e altura
é
Substituindo
na expressão de
obtém-se
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
,
Passo 5
O café sai à taxa de
,L/min, isto é
No instante em que
,cm temos
Resolvendo para
:
Resposta
A altura do café está diminuindo à taxa de