Sabemos que a partir de um cone circular invertido, obtemos um coador cortando-se o vértice. Suponha que o raio da base de um cone é igual a 10 cm e altura do cone é igual a 20 cm . Se ao passar o café no coador obtido deste cone, observa-se que o café sai a uma taxa de 0,5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, encontre a taxa a qual o nível do café diminui quando estiver a 10 cm da base. (observação: 1 \mathrm{~L}=1 \mathrm{dm}^{3}=1000 \mathrm{~cm}^{3} )

Passo 1

O enunciado descreve um coador obtido de um cone circular invertido de raio da base igual a 10,cm e altura igual a 20,cm. Ao passar o café, o volume V do líquido dentro do coador diminui à taxa de 0,5,L/min. Queremos achar a taxa de variação da altura do café, digamos h(t), no instante em que o nível do café está a 10,cm da base do cone (note que isso corresponde a uma altura de 10,cm medida a partir do vértice). O conteúdo é “taxas relacionadas” usando semelhança de triângulos e a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Chamando r o raio do círculo de superfície livre do líquido quando a altura é h, pela semelhança de triângulos entre o pequeno cone de líquido e o cone todo temos
\frac{r}{h}=\frac{10}{20}=\frac12
Logo
r=\frac{h}{2}.

Passo 3

A volume de um cone de raio r e altura h é
V=\frac{1}{3}\pi r^2h.
Substituindo r=\tfrac h2 na expressão de V obtém-se
V=\frac{1}{3}\pi\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr)^2h =\frac{\pi}{12}\,h^3.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t,
\frac{dV}{dt} =\frac{\pi}{12}\cdot 3h^2\frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{4}\,h^2\frac{dh}{dt}.

Passo 5

O café sai à taxa de 0{,}5,L/min, isto é
\frac{dV}{dt}=-0{,}5\;\mathrm{L/min}=-0{,}5\times1000\;\mathrm{cm^3/min}=-500\;\mathrm{cm^3/min}.
No instante em que h=10,cm temos
-500 =\frac{\pi}{4}\,(10)^2\frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{4}\,100\;\frac{dh}{dt} =25\pi\;\frac{dh}{dt}.
Resolvendo para \tfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt} =\frac{-500}{25\pi} =-\frac{20}{\pi} \quad\bigl(\mathrm{cm/min}\bigr).

Resposta

A altura do café está diminuindo à taxa de
\frac{dh}{dt}=-\frac{20}{\pi}\;\mathrm{cm/min}.

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