Você planeja construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão, recortando quadrados iguais dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Supondo que as laterais da folha de papelão medem 8 cm e 5 cm . Quais são as dimensões da caixa de maior volume?

Passo 1

O enunciado pede para montar uma caixa sem tampa a partir de uma folha de papelão de 8,cm por 5,cm, recortando quadrados de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. O conteúdo é maximização de volume por cálculo diferencial: vamos expressar o volume em função de x, determinar o domínio, achar o ponto crítico pela derivada e verificar que é máximo.

Passo 2

Seja x a aresta do quadrado recortado. Após o corte e a dobra, a altura da caixa é x e as dimensões da base ficam \,8 - 2x e \,5 - 2x.
Logo o volume é
V(x) \;=\; x\,(8 - 2x)\,(5 - 2x).

Passo 3

Para a caixa existir devemos ter
8 - 2x > 0,\quad 5 - 2x > 0,\quad x>0,
ou seja
0 < x < 2,5.

Passo 4

Expandindo e derivando, temos
V(x) = 40x - 26x^2 + 4x^3,
V'(x) = 40 - 52x + 12x^2.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
12x^2 - 52x + 40 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 - 13x + 10 = 0.
As soluções são
x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{6} = \frac{13 \pm 7}{6},
isto é x_1 = \tfrac{20}{6} = \tfrac{10}{3} e x_2 = 1. Só x = 1 está em (0,2,5).

Passo 5

Para confirmar máximo, calcula-se
V''(x) = 24x - 52,
logo
V''(1) = 24 - 52 = -28 < 0,
indicando ponto de máximo. Substituindo x = 1 nas dimensões da base:
8 - 2\cdot1 = 6,\quad 5 - 2\cdot1 = 3.

Resposta

A caixa de maior volume tem base de 6,cm por 3,cm e altura de 1,cm.

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