Você planeja construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão, recortando quadrados iguais dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Supondo que as laterais da folha de papelão medem 8 cm e 5 cm . Quais são as dimensões da caixa de maior volume?
Passo 1
O enunciado pede para montar uma caixa sem tampa a partir de uma folha de papelão de
,cm por
,cm, recortando quadrados de lado
nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. O conteúdo é maximização de volume por cálculo diferencial: vamos expressar o volume em função de
, determinar o domínio, achar o ponto crítico pela derivada e verificar que é máximo.
Passo 2
Seja
a aresta do quadrado recortado. Após o corte e a dobra, a altura da caixa é
e as dimensões da base ficam
e
.
Logo o volume é
Logo o volume é
Passo 3
Para a caixa existir devemos ter
ou seja
Passo 4
Expandindo e derivando, temos
Igualando a zero para achar pontos críticos:
As soluções são
isto é
e
. Só
está em
.
Passo 5
Para confirmar máximo, calcula-se
logo
indicando ponto de máximo. Substituindo
nas dimensões da base:
Resposta
A caixa de maior volume tem base de
,cm por
,cm e altura de
,cm.