Um helicóptero da polícia rodoviária sobrevoa uma auto-estrada a 3 km do solo a uma velocidade constante de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. O Piloto vê um carro se aproximando e o radar assinala que no instante da observação a distância entre o carro e o avião é de 5 km e diminui a uma taxa de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Se a velocidade máxima permitida na estrada é de 110 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, o carro será multado? Justifique.

Passo 1

O helicóptero voa a 3\\ \mathrm{km} de altura a 80\\ \mathrm{km/h}. O radar indica que a distância reta s até um carro é de 5\\ \mathrm{km} e decresce a 80\\ \mathrm{km/h}. Queremos determinar a velocidade do carro e verificar se ela ultrapassa o limite de 110\\ \mathrm{km/h}.

Passo 2

Seja p(t) a distância horizontal entre o helicóptero e o carro. Como a altura h=3\\ \mathrm{km} é constante, temos a relação
s^2 = p^2 + h^2.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2s \,\frac{ds}{dt} = 2p \,\frac{dp}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{ds}{dt} = \frac{p}{s}\,\frac{dp}{dt}.

Passo 4

No instante considerado, s=5\\ \mathrm{km} e h=3\\ \mathrm{km}, logo
p = \sqrt{s^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\\ \mathrm{km}.
Como \displaystyle \frac{ds}{dt} = -80\\ \mathrm{km/h}, substituímos na fórmula anterior:
-80 = \frac{4}{5}\,\frac{dp}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dt} = -100\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

A variação \tfrac{dp}{dt} também pode ser escrita em função da velocidade do helicóptero v_{\rm heli}=80\\ \mathrm{km/h} e da velocidade do carro v_{\rm car}:
\frac{dp}{dt} = v_{\rm heli} - v_{\rm car} = 80 - v_{\rm car}.
Assim,
80 - v_{\rm car} = -100 \quad\Longrightarrow\quad v_{\rm car} = 180\\ \mathrm{km/h}.
Como 180\\ \mathrm{km/h} > 110\\ \mathrm{km/h}, o carro está acima do limite.

Resposta

O carro trafega a 180\\ \mathrm{km/h}, ultrapassando o limite de 110\\ \mathrm{km/h}, portanto será multado.

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