O produto escalar de dois vetores
e
é um escalar e é definido por
em que
é o ângulo entre esses dois vetores.
a) Usando essa definição, demonstre que
b) A seguir, empregue
e
para mostrar que
a) Usando essa definição, demonstre que
Passo 1
O enunciado dá a definição do produto escalar entre dois vetores:
onde
é o ângulo entre
e
. São feitas duas coisas:
a) Mostrar, usando essa definição, que
e
b) Dadas as decomposições
e
mostrar que
Informações relevantes que o enunciado dá ou pressupõe (tudo será usado explicitamente nos passos seguintes):
- A definição do produto escalar em termos de módulos e do cosseno do ângulo.
-
são vetores unitários (isto é, têm módulo ) e representam os eixos coordenados ortogonais padrão (ângulos de entre eixos diferentes). - As componentes scalars
são números reais que multiplicam os vetores unitários.
Passo 2
Primeiro vamos usar a definição para calcular
. Lembre-se: um vetor unitário tem módulo
. Além disso, o ângulo entre um vetor e ele mesmo é
, e
. Aplicando a definição:
Como
e
, obtemos
Aqui eu usei explicitamente que
é unitário e que o ângulo entre ele e ele mesmo é
.
Passo 3
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, para os outros vetores unitários:
- Para
:
- Para
:
Portanto confirmamos as três igualdades diagonais pedidas.
Passo 4
Agora vamos mostrar que produtos escalares entre vetores de direções diferentes valem zero. Por construção do sistema de coordenadas cartesiano,
são mutuamente perpendiculares: o ângulo entre quaisquer dois diferentes é
. E
. Assim, por definição do produto escalar, por exemplo para
e
:
O mesmo vale para os pares
e
, portanto:
Com isso finalizamos a demonstração da parte (a).
Passo 5
Antes de expandir
na parte (b), precisamos usar duas propriedades do produto escalar que são usuais e fáceis de entender com um pouco de intuição geométrica:
- Homogeneidade em escala: para qualquer escalar
e vetores ,
Intuição rápida: multiplicar
por
escala seu módulo por
e deixa o ângulo com
o mesmo (ou oposto se
, mas o sinal é tratado corretamente por
). Pela definição
quando interpretamos
com sinal apropriado.
- Distributividade em relação à soma: para vetores
,
Intuição via projeção:
pode ser visto como o produto do módulo de
pela componente (projeção escalar) de
ao longo de
. A projeção da soma é a soma das projeções, logo o produto escalar é linear na primeira componente. (Esta propriedade é frequentemente tomada como parte da definição algébrica do produto escalar; a intuição da projeção ajuda a aceitá-la.)
Com essas duas propriedades podemos expandir produtos escalares de somas e fatores escalares sem medo.
Passo 6
Agora expandimos diretamente
, aplicando distributividade e puxando escalares para fora dos produtos escalares:
Usando distributividade, isso vira a soma dos nove produtos:
Aqui usei a propriedade de que escalares
podem ser colocados fora do produto escalar.
Passo 7
Agora substituímos os resultados da parte (a) nas nove termos. Lembrando:
e
Também
etc., porque o produto escalar é comutativo. Substituindo, todos os termos mistos (com vetores diferentes) se anulam, e só ficam os termos diagonais:
Passo 8
Concluímos então que
Isto é exatamente a fórmula pedida na parte (b). Intuitivamente: o produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes quando usamos uma base ortonormal (aqui
é uma base ortonormal).