O produto escalar de dois vetores \vec{a} e \vec{b} é um escalar e é definido por
\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta
em que \theta é o ângulo entre esses dois vetores.
a) Usando essa definição, demonstre que
\hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \text { e } \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=0
b) A seguir, empregue \vec{a}=a_{x} \hat{\mathbf{i}}+a_{y} \hat{\mathbf{j}}+a_{z} \hat{\mathbf{k}} e \vec{b}= b_{x} \hat{\mathbf{i}}+b_{y} \hat{\mathbf{j}}+b_{z} \hat{\mathbf{k}} para mostrar que
\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}

Passo 1

O enunciado dá a definição do produto escalar entre dois vetores:
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. São feitas duas coisas:
a) Mostrar, usando essa definição, que
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=1
e
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=0.
b) Dadas as decomposições
\vec{a}=a_x\hat{\mathbf{i}}+a_y\hat{\mathbf{j}}+a_z\hat{\mathbf{k}}
e
\vec{b}=b_x\hat{\mathbf{i}}+b_y\hat{\mathbf{j}}+b_z\hat{\mathbf{k}},
mostrar que
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Informações relevantes que o enunciado dá ou pressupõe (tudo será usado explicitamente nos passos seguintes):
  • A definição do produto escalar em termos de módulos e do cosseno do ângulo.
  • \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são vetores unitários (isto é, têm módulo 1) e representam os eixos coordenados ortogonais padrão (ângulos de 90^\circ entre eixos diferentes).
  • As componentes scalars a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z são números reais que multiplicam os vetores unitários.

Passo 2

Primeiro vamos usar a definição para calcular \hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}}. Lembre-se: um vetor unitário tem módulo 1. Além disso, o ângulo entre um vetor e ele mesmo é 0^\circ, e \cos 0^\circ = 1. Aplicando a definição:
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}} = |\hat{\mathbf{i}}|\,|\hat{\mathbf{i}}|\cos 0^\circ.
Como |\hat{\mathbf{i}}|=1 e \cos 0^\circ = 1, obtemos
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}} = 1\cdot 1 \cdot 1 = 1.
Aqui eu usei explicitamente que \hat{\mathbf{i}} é unitário e que o ângulo entre ele e ele mesmo é 0^\circ.

Passo 3

Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, para os outros vetores unitários:
  • Para \hat{\mathbf{j}}:
\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{j}} = |\hat{\mathbf{j}}|\,|\hat{\mathbf{j}}|\cos 0^\circ = 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
  • Para \hat{\mathbf{k}}:
\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}} = |\hat{\mathbf{k}}|\,|\hat{\mathbf{k}}|\cos 0^\circ = 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Portanto confirmamos as três igualdades diagonais pedidas.

Passo 4

Agora vamos mostrar que produtos escalares entre vetores de direções diferentes valem zero. Por construção do sistema de coordenadas cartesiano, \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são mutuamente perpendiculares: o ângulo entre quaisquer dois diferentes é 90^\circ. E \cos 90^\circ = 0. Assim, por definição do produto escalar, por exemplo para \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}}:
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}} = |\hat{\mathbf{i}}|\,|\hat{\mathbf{j}}|\cos 90^\circ = 1\cdot 1\cdot 0 = 0.
O mesmo vale para os pares (\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{k}}) e (\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}), portanto:
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0,\qquad \hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0.
Com isso finalizamos a demonstração da parte (a).

Passo 5

Antes de expandir \vec{a}\cdot\vec{b} na parte (b), precisamos usar duas propriedades do produto escalar que são usuais e fáceis de entender com um pouco de intuição geométrica:
  1. Homogeneidade em escala: para qualquer escalar \lambda e vetores \vec{u},\vec{v},
(\lambda \vec{u})\cdot\vec{v} = \lambda(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Intuição rápida: multiplicar \vec{u} por \lambda escala seu módulo por |\lambda| e deixa o ângulo com \vec{v} o mesmo (ou oposto se \lambda<0, mas o sinal é tratado corretamente por \lambda). Pela definição (\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = |\lambda\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta = |\lambda||\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta = \lambda(\vec{u}\cdot\vec{v}) quando interpretamos \lambda com sinal apropriado.
  1. Distributividade em relação à soma: para vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w},
(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}.
Intuição via projeção: \vec{u}\cdot\vec{w} pode ser visto como o produto do módulo de \vec{w} pela componente (projeção escalar) de \vec{u} ao longo de \vec{w}. A projeção da soma é a soma das projeções, logo o produto escalar é linear na primeira componente. (Esta propriedade é frequentemente tomada como parte da definição algébrica do produto escalar; a intuição da projeção ajuda a aceitá-la.)
Com essas duas propriedades podemos expandir produtos escalares de somas e fatores escalares sem medo.

Passo 6

Agora expandimos diretamente \vec{a}\cdot\vec{b}, aplicando distributividade e puxando escalares para fora dos produtos escalares:
\vec{a}\cdot\vec{b} = (a_x\hat{\mathbf{i}}+a_y\hat{\mathbf{j}}+a_z\hat{\mathbf{k}})\cdot(b_x\hat{\mathbf{i}}+b_y\hat{\mathbf{j}}+b_z\hat{\mathbf{k}}).
Usando distributividade, isso vira a soma dos nove produtos:
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x (\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}}) + a_x b_y (\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}) + a_x b_z (\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{k}})
\qquad{} + a_y b_x (\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{i}}) + a_y b_y (\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{j}}) + a_y b_z (\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{k}})
\qquad{} + a_z b_x (\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{i}}) + a_z b_y (\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{j}}) + a_z b_z (\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}}).
Aqui usei a propriedade de que escalares a_x,b_y podem ser colocados fora do produto escalar.

Passo 7

Agora substituímos os resultados da parte (a) nas nove termos. Lembrando:
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=1
e
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=0.
Também \hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=0 etc., porque o produto escalar é comutativo. Substituindo, todos os termos mistos (com vetores diferentes) se anulam, e só ficam os termos diagonais:
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x (1) + a_y b_y (1) + a_z b_z (1).

Passo 8

Concluímos então que
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Isto é exatamente a fórmula pedida na parte (b). Intuitivamente: o produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes quando usamos uma base ortonormal (aqui \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} é uma base ortonormal).

Resposta

\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=1\n
\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{j}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=0\n
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

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