1. O produto da matriz A=\left(\begin{array}{cc}3 / 5 & 4 / 5 \\\ x & y\end{array}\right) pela sua transposta é a identidade. Determine x e y sabendo que \operatorname{det}(A)>0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5}\\[4pt] x & y\end{pmatrix}
e diz que o produto da matriz pela sua transposta é a identidade, isto é
A A^{T}=I.
Pede-se determinar x e y, sabendo ainda que \det(A)>0.]

Passo 2

Vou explicar o que significa \;A A^{T}=I\; de forma concreta e traduzir isso em equações para x e y.
  • A transposta A^{T} troca linhas por colunas; aqui
A^{T}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & x\\[4pt]\tfrac{4}{5} & y\end{pmatrix}.
  • O produto A A^{T} é uma matriz 2\times2 cujas entradas podem ser vistas como produtos internos (produtos escalar) entre as linhas de A. Em particular, se chamarmos a primeira linha de A de r_1=(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}) e a segunda de r_2=(x,y), então
(A A^{T})_{11}=r_1\cdot r_1,\qquad (A A^{T})_{12}=r_1\cdot r_2,
(A A^{T})_{21}=r_2\cdot r_1,\qquad (A A^{T})_{22}=r_2\cdot r_2.
Como A A^{T}=I, essas entradas devem ser 1,0,0,1 respectivamente.]

Passo 3

Escrevendo as equações correspondentes:
  • Pelo elemento (1,1):
r_1\cdot r_1=\Big(\tfrac{3}{5}\Big)^2+\Big(\tfrac{4}{5}\Big)^2=1,
o que já se verifica (boa notícia: a primeira linha já é unitária).
  • Pelo elemento (1,2) (e simetricamente (2,1)):
r_1\cdot r_2=\tfrac{3}{5}\,x+\tfrac{4}{5}\,y=0.
Isto diz que r_2 é ortogonal a r_1.
  • Pelo elemento (2,2):
r_2\cdot r_2=x^{2}+y^{2}=1.
Isto diz que r_2 também tem norma 1.
Portanto x e y devem satisfazer o sistema
\begin{cases} \tfrac{3}{5}x+\tfrac{4}{5}y=0,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (vou limpar denominadores para ficar mais simples):
Multiplicando a primeira equação por 5:
3x+4y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{4}{3}y.
Substituir na segunda equação:
x^{2}+y^{2}=\Big(-\tfrac{4}{3}y\Big)^{2}+y^{2}=\tfrac{16}{9}y^{2}+y^{2}=\tfrac{25}{9}y^{2}=1.
Logo
y^{2}=\tfrac{9}{25}\quad\Rightarrow\quad y=\pm \tfrac{3}{5}.
Para cada escolha de y obtemos x:
  • Se y=\tfrac{3}{5} então x=-\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{3}{5}=-\tfrac{4}{5}.
  • Se y=-\tfrac{3}{5} então x=-\tfrac{4}{3}\cdot\big(-\tfrac{3}{5}\big)=\tfrac{4}{5}.
Portanto as duas soluções que satisfazem A A^{T}=I são
(x,y)=\Big(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Big)\quad\text{ou}\quad (x,y)=\Big(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Big).

Passo 5

Agora usamos a condição extra \det(A)>0 para escolher qual das duas soluções vale.
A fórmula do determinante de uma 2\times2 é, para A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},
\det(A)=ad-bc.
Aqui a=\tfrac{3}{5}, b=\tfrac{4}{5}, c=x, d=y. Logo
\det(A)=\tfrac{3}{5}y-\tfrac{4}{5}x.
Calcular para cada solução:
  • Para (x,y)=\big(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\big):
\det(A)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{3}{5}-\tfrac{4}{5}\cdot\big(-\tfrac{4}{5}\big)=\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}= \tfrac{25}{25}=1>0.
  • Para (x,y)=\big(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\big):
\det(A)=\tfrac{3}{5}\cdot\big(-\tfrac{3}{5}\big)-\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{4}{5}=-\tfrac{9}{25}-\tfrac{16}{25}=-1<0.
Como o enunciado exige \det(A)>0, a solução válida é
(x,y)=\Big(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Big).

Resposta

x=-\tfrac{4}{5},\;y=\tfrac{3}{5}

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