- O produto da matriz
pela sua transposta é a identidade. Determine
e
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e diz que o produto da matriz pela sua transposta é a identidade, isto é
Pede-se determinar
e
, sabendo ainda que
.]
Passo 2
Vou explicar o que significa
de forma concreta e traduzir isso em equações para
e
.
- A transposta
troca linhas por colunas; aqui
- O produto
é uma matriz cujas entradas podem ser vistas como produtos internos (produtos escalar) entre as linhas de . Em particular, se chamarmos a primeira linha de de e a segunda de , então
Como
, essas entradas devem ser
respectivamente.]
Passo 3
Escrevendo as equações correspondentes:
- Pelo elemento
:
o que já se verifica (boa notícia: a primeira linha já é unitária).
- Pelo elemento
(e simetricamente ):
Isto diz que
é ortogonal a
.
- Pelo elemento
:
Isto diz que
também tem norma
.
Portanto
e
devem satisfazer o sistema
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo (vou limpar denominadores para ficar mais simples):
Multiplicando a primeira equação por
:
Substituir na segunda equação:
Logo
Para cada escolha de
obtemos
:
- Se
então . - Se
então .
Portanto as duas soluções que satisfazem
são
Passo 5
Agora usamos a condição extra
para escolher qual das duas soluções vale.
A fórmula do determinante de uma
é, para
,
Aqui
,
,
,
. Logo
Calcular para cada solução:
- Para
:
- Para
:
Como o enunciado exige
, a solução válida é