O produto de solubilidade do sulfato de prata \mathbf{A g}_{2} \mathbf{S O}_{4} é 1,4.10-5. Estime a solubilidade molar do sal.
\mathrm{Ag}_{2} \mathrm{SO}_{4}(\mathrm{~s}) \rightleftarrows \mathrm{Ag}^{+}(\mathrm{aq})+\mathrm{SO}_{4}^{2-}(\mathrm{aq})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
  • Produto de solubilidade: \,K_{sp}=1,4\times10^{-5}.
  • Equilíbrio de dissolução (fornecido): \mathrm{Ag}_{2}\mathrm{SO}_{4}(s)\rightleftarrows \mathrm{Ag}^{+}(aq)+\mathrm{SO}_{4}^{2-}(aq)
  • Pergunta: estimar a solubilidade molar do sal, ou seja, a concentração em mol·L^{-1} de sulfato de prata que se dissolve num equilíbrio saturado.

Passo 2

Definir a incógnita útil para a prova (e para a conta): chamo de \,s a solubilidade molar do sal, em mol·L^{-1}. Isso significa que, em uma solução saturada:
  • a cada 1 mol de \mathrm{Ag}_{2}\mathrm{SO}_{4} que se dissolve, formam-se 2 mols de \mathrm{Ag}^{+} e 1 mol de \mathrm{SO}_{4}^{2-};
  • portanto, no equilíbrio: [\mathrm{Ag}^{+}] = 2s,\qquad [\mathrm{SO}_{4}^{2-}] = s.
Aqui [\cdot] indica concentração molar (mol·L^{-1}). Importante: isso vem diretamente da estequiometria da equação de dissolução — é um passo que sempre faço em questões de Ksp.

Passo 3

Recordando a definição que vamos usar (a “fórmula” chave): o produto de solubilidade para um sal que se dissocia é o produto das concentrações íonicas, cada uma elevada ao seu coeficiente estequiométrico. Para este sal:
K_{sp} = [\mathrm{Ag}^{+}]^{2}\,[\mathrm{SO}_{4}^{2-}].
Explicando: o expoente 2 em [\mathrm{Ag}^{+}]^{2} é porque há dois íons prata formados por fórmula de sal.

Passo 4

Substituo as concentrações em função de s na expressão do K_{sp}:
K_{sp} = (2s)^{2}\cdot (s) = 4s^{3}.
Isto é algebra simples: (2s)^2 = 4s^2 e multiplicando por s 4s^3.

Passo 5

Isolar s. A partir de 4s^{3}=K_{sp} temos:
s^{3}=\frac{K_{sp}}{4}, \qquad\text{logo}\qquad s=\left(\frac{K_{sp}}{4}\right)^{1/3}.
Ou seja, precisamos extrair a raiz cúbica de K_{sp}/4. Na prova, se não der calculadora, faz-se o truque de separar mantissa e potência de dez para facilitar.

Passo 6

Faço a conta numérica passo a passo (pegando K_{sp} que o enunciado deu):
\frac{K_{sp}}{4}=\frac{1,4\times10^{-5}}{4}=0,35\times10^{-5}=3,5\times10^{-6}.
Agora:
s=(3,5\times10^{-6})^{1/3}=(3,5)^{1/3}\times(10^{-6})^{1/3}.
Como (10^{-6})^{1/3}=10^{-2}, resta calcular (3,5)^{1/3}. Uma aproximação prática é notar que 1,5^{3}=3,375 e 1,52^{3}\approx3,50, então
(3,5)^{1/3}\approx1,52.
Multiplicando:
s\approx1,52\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Se preferir arredondar conforme o K_{sp} (duas algarismos significativos), pode-se dar s\approx1,5\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Resposta

s=1,52\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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