Um produto tem seu valor dado pela função P(x)=500 2^k x, em que x é o tempo em anos contados a partir de 2003 (x=0), e P(x) é dado em reais. Dado que em 2005 esse
produto valia 1000 reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.
O ano em que o produto valerá 32000 reais.

Passo 1

A questão dá o valor do produto em função do tempo como P(x)=500cdot2^k x, sendo x os anos desde 2003, e diz que em 2005 (ou seja, x=2) valia R$ 1000. Vamos precisar de conhecimentos de funções exponenciais para achar primeiro o parâmetro 1000 Vamos precisar de conhecimentos de funções exponenciais para achar primeiro o parâmetro e depois encontrar quando e depois encontrar quando .

Passo 2

Usando o dado de 2005, temos x=2 e P(2)=1000. Substituindo na função:
500cdot2^kcdot2=1000
Dividindo por 500: 2^2k=2. Como 2=2^1, concluímos que 2k=1, logo k=tfrac12.

Passo 3

Agora queremos x tal que P(x)=32000. Substituindo k=tfrac12 na função e igualando:
500cdot2^(tfrac12)x=32000
Dividindo por 500: 2^x/2=64. Como 64=2^6, temos x/2=6, portanto x=12.

Passo 4

O valor de x=12 significa 12 anos após 2003. Assim, o ano será 2003+12=2015.

Resposta

2015

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