Um produtor deseja adquirir um arado de discos para o seu trator 4 \times 2 que possui as seguintes características:
  • Potência do motor: 70 cv
    -Potência máxima na TDP: 68,6 cv
  • Peso estático total com lastro: 3.000 kgf
Sabendo que a profundidade de aração máxima será de 30 cm e a velocidade de aração será de 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual a maior largura de arado que o produtor pode comprar ? Considere que utilizará no máximo 80 \% da potência máxima do trator. Faça as considerações que forem necessárias (justificando-as).

Passo 1

O enunciado pede: “qual a maior largura de arado que o produtor pode comprar?” Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\text{Potência do motor} = 70\\ \mathrm{cv}ê
\text{Potência máxima na TDP} = 68,6\\ \mathrm{cv}êá
\text{Peso estático total com lastro} = 3{,}000\\ \mathrm{kgf}á
\text{Profundidade de aração máxima} = 30\\ \mathrm{cm}çãá
\text{Velocidade de aração} = 5\\ \mathrm{km/h}çã
\text{Usará no máximo }80\%\text{ da potência máxima do trator.}ááêá
Informações implícitas/necessárias que o enunciado não fornece diretamente e que terei de considerar (vou justificar as escolhas mais à frente): coeficiente de resistência do solo (que entra no cálculo do esforço de tração por largura), fração do peso do trator sobre as rodas motrizes e coeficiente de adesão (tração disponível). O enunciado não traz figura nem tabela; tudo que uso é numérico acima ou escolhas justificadas a seguir.

Passo 2

Defino o modelo físico simples e prático que usaremos (é o procedimento usual para estimar largura máxima sem entrar em modelos muito complexos):
  1. Potência útil disponível para tração/puxamento na TDP convertida para watts:
P_{\text{disp}} = 0{,}8\cdot(\text{potência na TDP}) \\ (\text{convertida para W}).ê
Explicação: potência é trabalho por segundo; se o implemento exige uma força horizontal F e a velocidade do trator é v, a potência necessária é P=F\cdot v. Portanto, a partir da potência disponível conseguimos achar a força máxima que podemos aplicar ao solo (e daí a largura).
  1. Relação entre esforço de tração e largura do arado: um modelo linear simples é
F = c\cdot b\cdot d,
onde:
  • F é a força de tração necessária (em N),
  • c é o coeficiente de resistência do solo por unidade de área (em \mathrm{N/m^2}),
  • b é a largura de trabalho do arado (em m) — é o que queremos,
  • d é a profundidade de trabalho (em m) — dada como 30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Justificativa do modelo: para implementos de corte/volteio o esforço de arraste cresce aproximadamente proporcional à largura e à profundidade; c agrega características do solo (textura, umidade, compactação) e eficiências geométricas do implemento. Esse modelo é simples e adequado para estimativas práticas de prova. Em seguida usamos
P = F\cdot v = c\cdot b\cdot d\cdot v.
Isolamos b:
b=\frac{P}{c\cdot d\cdot v}.
  1. Vou também considerar a limitação por tração (adesão): mesmo que a potência permita uma certa força F, o trator só consegue aplicar uma força horizontal máxima limitada pela adesão entre pneus e solo. Essa força máxima é
F_{\max,\text{tração}} = \mu \cdot W_{\text{rodas}},çã
onde:
  • \mu é coeficiente de tração (sem unidade), típico entre 0{,}4 e 0{,}6 para pneus com lastro em campo,
  • W_{\text{rodas}} é o peso sobre as rodas motrizes (em N). Se o peso estático total é dado em \mathrm{kgf}, converto para N por multiplicar por 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
A largura máxima real será a menor entre a largura permitida pela potência e a permitida pela tração:
b_{\text{real}} = \min\bigl(b_{\text{potência}},\\ b_{\text{tração}}\bigr).êçã

Passo 3

Conversões e cálculo da potência disponível (tudo explicado passo a passo):
  1. converter potência em \mathrm{cv} para watts. Uso a conversão padrão: 1\\ \mathrm{cv}=735{,}49875\\ \mathrm{W}.
A potência máxima na TDP é \;68{,}6\\ \mathrm{cv}. Usando 80\%:
P_{\text{disp,cv}} = 0{,}8\cdot 68{,}6 = 54{,}88\\ \mathrm{cv}.
Converter para watts:
P_{\text{disp}} = 54{,}88\cdot 735{,}49875 \approx 40\,364{,}17\\ \mathrm{W}.
  1. converter velocidade para \mathrm{m/s}:
v = 5\\ \mathrm{km/h} = \frac{5}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}3888889\\ \mathrm{m/s}.
  1. profundidade em metros:
d = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolha e justificativa do valor de c (coeficiente de resistência do solo) e cálculo da largura limitada pela potência.
Explicação didática: o valor de c depende fortemente do tipo de solo, umidade e do implemento (arado de discos costuma ter resistência menor que arado de aivecas, mas ainda significativa). Em livros e tabelas técnicas de preparo de solo, valores típicos para c (em \mathrm{N/m^2}) para trabalhos de aração/raptação podem ficar, grosso modo, na faixa:
c \approx 40{,}000\\ \text{a}\\\ 60{,}000\\ \mathrm{N/m^2}
para solos de média resistência (argilo-arenosos moderados). Vou usar como valor de referência um valor intermediário e razoável:
c_{\text{ref}} = 50{,}000\\ \mathrm{N/m^2}.
Também apresentarei resultados para c=40{,}000 (solo leve/mais fácil) e c=60{,}000 (solo pesado/mais resistente) para ver a sensibilidade.
Da fórmula isolada:
b_{\text{potência}}=\frac{P_{\text{disp}}}{c\cdot d\cdot v}.ê
Calculo para c_{\text{ref}}=50{,}000\\ \mathrm{N/m^2}:
c\cdot d\cdot v = 50{,}000\cdot 0{,}30\cdot 1{,}3888889 \approx 20\,833{,}33\\ \mathrm{W/m}.
b_{\text{potência}}=\frac{40\,364{,}17}{20\,833{,}33}\approx 1{,}938\\ \mathrm{m}.ê
Resultados para os três valores de c:
\text{se } c=40{,}000:\quad b_{\text{potência}}\approx 2{,}422\\ \mathrm{m},ê
\text{se } c=50{,}000:\quad b_{\text{potência}}\approx 1{,}938\\ \mathrm{m},ê
\text{se } c=60{,}000:\quad b_{\text{potência}}\approx 1{,}615\\ \mathrm{m}.ê
Interpretação: pela única restrição de potência (ignorando adesão/tração), o trator poderia teoricamente puxar algo entre cerca de 1{,}6\\ \mathrm{m} e 2{,}4\\ \mathrm{m} dependendo do solo. Mas é imprescindível checar a tração, pois frequentemente ela é o fator limitante.

Passo 5

Cálculo da limitação por tração (adesão). Explico e justifico escolhas:
  • O trator é 4\times 2 (tração em duas rodas — normalmente rodas traseiras). Com lastro, parte do peso total fica sobre as rodas motrizes; é comum assumir que entre 60\% e 70\% do peso total fica sobre as rodas motrizes para tratores com lastro. Vou usar um valor razoável e conservador:
\text{fração sobre rod. motrizes} = 0{,}65.çã
  • Coeficiente de tração \mu: para pneus com lastro em solo de campo, valores práticos ficam tipicamente entre 0{,}4 (solo úmido/escorregadio) e 0{,}6 (condição muito boa). Vou usar um valor moderado:
\mu = 0{,}5.
Essas escolhas são justificadas porque produtor tem lastro (dado) e queremos um valor realista, não excessivamente otimista.
Calcular peso sobre rodas motrizes em N:
W_{\text{rodas}} = 0{,}65\cdot 3{,}000\\ \mathrm{kgf} = 1{,}950\\ \mathrm{kgf}.
Converter para newtons:
W_{\text{rodas}} = 1{,}950\cdot 9{,}81 \approx 19\,129{,}5\\ \mathrm{N}.
Força máxima de tração:
F_{\max,\text{tração}} = \mu\cdot W_{\text{rodas}} = 0{,}5\cdot 19\,129{,}5 \approx 9\,564{,}75\\ \mathrm{N}.çã

Passo 6

Transformo a limitação de tração em largura máxima. Da relação F = c\cdot b\cdot d imponho F_{\max,\text{tração}}\ge c\cdot b\cdot dçã, daí
b_{\text{tração}}=\frac{F_{\max,\text{tração}}}{c\cdot d}.çãçã
Usando c_{\text{ref}}=50{,}000\\ \mathrm{N/m^2} e d=0{,}30\\ \mathrm{m}:
c\cdot d = 50{,}000\cdot 0{,}30 = 15\,000\\ \mathrm{N/m}.
b_{\text{tração}} = \frac{9\,564{,}75}{15\,000}\approx 0{,}63765\\ \mathrm{m}.çã
Faço também a sensibilidade com c=40{,}000 e c=60{,}000:
  • Para c=40{,}000:
b_{\text{tração}}=\frac{9\,564{,}75}{40{,}000\cdot 0{,}30}=\frac{9\,564{,}75}{12\,000}\approx 0{,}7971\\ \mathrm{m}.çã
  • Para c=60{,}000:
b_{\text{tração}}=\frac{9\,564{,}75}{60{,}000\cdot 0{,}30}=\frac{9\,564{,}75}{18\,000}\approx 0{,}5314\\ \mathrm{m}.çã
Interpretação: com as escolhas razoáveis para fração de peso sobre rodas e coeficiente de tração, a largura permitida pela tração fica entre cerca de 0{,}53\\ \mathrm{m} (solo pesado) e 0{,}80\\ \mathrm{m} (solo leve). Isso é bem menor que as larguras permissíveis pela potência sozinha (ver Passo 4). Portanto a tração é o fator limitante aqui.

Passo 7

Conclusão prática e recomendação (resumindo os cálculos e escolhendo a largura final que o produtor pode comprar):
  • A largura permitida pela potência (usando 80\% da potência da TDP) para solo médio ( c=50{,}000) é \approx 1{,}94\\ \mathrm{m}.
  • A largura permitida pela tração (com escolhas moderadas: 65\% do peso sobre rodas motrizes e \mu=0{,}5) para solo médio é \approx 0{,}638\\ \mathrm{m}.
Como o arado só funciona de fato se o trator tiver tração suficiente, a largura real máxima é a menor das duas: ou seja, a limitação por tração domina e reduz muito a largura prática.
Recomendação: o produtor deve escolher um arado cuja largura de trabalho não exceda a largura permitida pela tração. Com os valores bem justificados que usei, essa largura é aproximadamente 0{,}64\\ \mathrm{m}. Na prática comercial de arados, isso corresponde a um arado com uma ou duas lâminas/discos com cada lâmina cobrindo cerca de 30 40\\ \mathrm{cm} de largura; se o produtor quiser arado mais largo (ex.: 1{,}2\\ \mathrm{m} ou 2{,}0\\ \mathrm{m}), seria necessário aumentar a carga sobre as rodas motrizes (redistribuir lastro), usar rodas gêmeas, reduzir profundidade ou trabalhar em solo muito favorável — caso contrário o trator vai patinar e não conseguirá transmitir a potência ao solo.

Resposta

0{,}64\\ \mathrm{m} (aproximadamente; limitação ditada pela tração com as hipóteses: 65\% do peso sobre rodas motrizes e coeficiente de tração \mu=0{,}5; se o solo for muito mais leve ou se aumentar a carga sobre rodas motrizes, essa largura pode aumentar até cerca de 1{,}94\\ \mathrm{m} sob limitação puramente de potência).

Exercícios relacionados