Questão:
(sugestão: derive \ln (1+x) )
Determine os valores de x nos quais a série encontrada converge.
Quanto vale \frac{d^{50} f}{d x^{50}}(0) ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar os valores de x nos quais a série (a série de potências sugerida por "derive \ln(1+x)") converge.
  2. Calcular \dfrac{d^{50}f}{dx^{50}}(0), onde f(x)=\ln(1+x).
Informações úteis dadas ou implícitas:
  • A sugestão indica usar a função \ln(1+x) e obter sua série em torno de 0 (série de Taylor / Maclaurin).
  • Não há outra figura ou dado adicional necessário.

Passo 2

Lembra do truque padrão: começar da série geométrica. Para |t|<1 vale a identidade
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}.
Explico rapidinho por que: a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge para \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Aqui tomamos r=-t, então \sum_{n=0}^\infty (-t)^n=\dfrac{1}{1-(-t)}=\dfrac{1}{1+t}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em t de 0 até x. Para |x|<1 a integração termo a termo é válida (a série converge uniformemente em intervalos fechados dentro de (-1,1)), então:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}\,dt.
O lado esquerdo é \ln(1+x)-\ln(1+0)=\ln(1+x). O lado direito, integrando termo a termo, dá
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x} t^{n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Fazendo uma mudança de índice para escrever a soma em potências de x^{n} com n começando em 1, obtemos
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n},\qquad\text{para }|x|<1.
Isto é a série de Maclaurin de \ln(1+x).

Passo 5

Agora determinamos o raio/intervalo de convergência. Aplicamos o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}.
Considere o termo geral a_n(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}. Então
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| =\left|\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^{n}}\right| =|x|\cdot\frac{n}{n+1}.
Fazendo n\to\infty obtemos \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|. Pelo teste da razão, a série converge quando esse limite é menor que 1, ou seja quando |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Passo 6

Precisamos analisar agora os extremos x=1 e x=-1.
  • Para x=1: a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a 0) ela converge. De fato converge para \ln 2, consistindo com o valor \ln(1+1).
  • Para x=-1: a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é - vezes a série harmônica usual e diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido; é divergente para +\infty em valor absoluto). Além disso \ln(1+(-1))=\ln 0 não é definida. Logo diverge em x=-1.

Passo 7

Concluímos o conjunto de convergência: a série converge para -1<x\le 1. Mais precisamente:
  • converge absolutamente para |x|<1;
  • converge condicionalmente em x=1;
  • diverge em x=-1.

Passo 8

Agora vamos achar \dfrac{d^{50}f}{dx^{50}}(0). A expansão maclaurin encontrada é
f(x)=\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}.
Denote o coeficiente do termo x^{n} por c_{n}, ou seja
c_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\quad\text{para }n\ge 1.

Passo 9

Relação entre coeficientes e derivadas: para uma série de Taylor centrada em 0,
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Comparando com nossa série (que não tem termo constante, logo f(0)=0), para n\ge 1 temos
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=c_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
Multiplicando por n! obtemos a fórmula para a n-ésima derivada avaliada em 0:
f^{(n)}(0)=n!\,(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=(n-1)!\,(-1)^{n+1},\qquad n\ge 1.

Passo 10

Aplicando n=50 na fórmula:
\frac{d^{50}f}{dx^{50}}(0)=f^{(50)}(0)=(50-1)!\,(-1)^{50+1}=49!\,(-1)^{51}.
Como (-1)^{51}=-1, obtemos
\frac{d^{50}f}{dx^{50}}(0)=-49!.

Resposta

Converge para -1<x\le 1.\n \displaystyle \frac{d^{50}f}{dx^{50}}(0)=-49!

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