Questão:
(sugestão: derive \ln (1+x) )
Determine os valores de x nos quais a série encontrada converge.
Quanto vale \frac{d^{50} f}{d x^{50}}(0) ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar os valores de x nos quais a série (a série de potências sugerida por "derive \ln(1+x)") converge.
Calcular \dfrac{d^{50}f}{dx^{50}}(0), onde f(x)=\ln(1+x).
Informações úteis dadas ou implícitas:
A sugestão indica usar a função \ln(1+x) e obter sua série em torno de 0 (série de Taylor / Maclaurin).
Não há outra figura ou dado adicional necessário.
Passo 2
Lembra do truque padrão: começar da série geométrica. Para |t|<1 vale a identidade
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}.
Explico rapidinho por que: a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge para \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Aqui tomamos r=-t, então \sum_{n=0}^\infty (-t)^n=\dfrac{1}{1-(-t)}=\dfrac{1}{1+t}.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em t de 0 até x. Para |x|<1 a integração termo a termo é válida (a série converge uniformemente em intervalos fechados dentro de (-1,1)), então:
Fazendo n\to\infty obtemos \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|. Pelo teste da razão, a série converge quando esse limite é menor que 1, ou seja quando |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
que é a série harmônica alternada. Pelo teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a 0) ela converge. De fato converge para \ln 2, consistindo com o valor \ln(1+1).
que é - vezes a série harmônica usual e diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido; é divergente para +\infty em valor absoluto). Além disso \ln(1+(-1))=\ln 0 não é definida. Logo diverge em x=-1.
Passo 7
Concluímos o conjunto de convergência: a série converge para -1<x\le 1. Mais precisamente:
converge absolutamente para |x|<1;
converge condicionalmente em x=1;
diverge em x=-1.
Passo 8
Agora vamos achar \dfrac{d^{50}f}{dx^{50}}(0). A expansão maclaurin encontrada é