Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste dos eixos depois de 10.000 km é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Se o desgaste for maior que 3 a concessionária deve arcar com os custos relativos à troca do eixo. Uma amostra aleatória de
eixos é testada e sua média é 3,48 . Sabe-se que o desgaste é normalmente distribuído com
. Construa um teste de hipóteses para a média considerando
.
Resp:
(teste unilateralà direita); Rejeita-se
.
Passo 1
O enunciado pede para construir um teste de hipóteses para a média do desgaste após 10.000 km, usando nível de significância
.
Informações dadas:
(tamanho da amostra),
(média amostral),
(desvio padrão populacional conhecido),
.
Também temos a regra prática do problema: “se o desgaste for maior que 3 a concessionária deve arcar com os custos”, o que sugere que o interesse é testar se a média populacional de desgaste é maior que .
Informações dadas:
Também temos a regra prática do problema: “se o desgaste for maior que 3 a concessionária deve arcar com os custos”, o que sugere que o interesse é testar se a média populacional de desgaste é maior que
Passo 2
Formulando as hipóteses (unilateral à direita):
Por que essa formulação? Porque a preocupação é saber se o desgaste médio excede
. No teste unilateral à direita a região crítica fica na cauda direita da distribuição do estatístico: rejeitamos
apenas se tivermos evidência suficiente de que a média é maior que
.
Passo 3
Escolha do teste e explicação da estatística: como o desvio padrão populacional
é conhecido e a variável é normalmente distribuída, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o valor hipotético da média sob (aqui ), -
é o desvio padrão populacional (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional).
Explicação intuitiva: subtraímos a média sob
da média observada e normalizamos dividindo pelo erro padrão; assim obtemos quantos desvios-padrão a média amostral está acima (ou abaixo) de
.
Passo 4
Calcular o erro padrão
:
Aqui explico: dividir
por
dá aproximadamente
. Esse número significa que a média amostral costuma variar cerca de
unidades de desgaste em torno da média populacional.
Passo 5
Calcular o valor observado do estatístico
:
Interpretação: a média amostral está cerca de
desvios-padrão acima de
.
Passo 6
Determinar o valor crítico (tabela) para
em teste unilateral à direita: procuramos
. Para
temos o quantil correspondente aproximadamente
(tabelas comuns fornecem
ou mais precisamente
). Aqui usamos
conforme solicitado. A região crítica é
.
Passo 7
Comparação e decisão: como o valor calculado
é maior que o crítico
, caímos na região crítica. Portanto rejeitamos
ao nível de significância
.
Interpretação em contexto: há evidência estatística suficiente para afirmar que a média do desgaste após 10.000 km é maior que
. Isso indica que a concessionária provavelmente terá de arcar com custos de substituição com base nessa amostra.
Observação adicional (p‑valor): para referência, o p‑valor é
, ou seja, aproximadamente
, o que é menor que
, corroborando a rejeição de
.