Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste dos eixos depois de 10.000 km é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Se o desgaste for maior que 3 a concessionária deve arcar com os custos relativos à troca do eixo. Uma amostra aleatória de n=15 eixos é testada e sua média é 3,48 . Sabe-se que o desgaste é normalmente distribuído com \sigma=0,9. Construa um teste de hipóteses para a média considerando \alpha=5 \%.
Resp: z_{\text {calc }}=2,06 ; z_{\text {tab }}=1,64 (teste unilateralà direita); Rejeita-se H_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para construir um teste de hipóteses para a média do desgaste após 10.000 km, usando nível de significância \alpha=5\%.
Informações dadas:
\;n=15 (tamanho da amostra), \;\bar{x}=3,48 (média amostral), \;\sigma=0,9 (desvio padrão populacional conhecido), \;\alpha=0,05.
Também temos a regra prática do problema: “se o desgaste for maior que 3 a concessionária deve arcar com os custos”, o que sugere que o interesse é testar se a média populacional de desgaste é maior que 3.

Passo 2

Formulando as hipóteses (unilateral à direita):
H_0: \mu \le 3
H_1: \mu > 3
Por que essa formulação? Porque a preocupação é saber se o desgaste médio excede 3. No teste unilateral à direita a região crítica fica na cauda direita da distribuição do estatístico: rejeitamos H_0 apenas se tivermos evidência suficiente de que a média é maior que 3.

Passo 3

Escolha do teste e explicação da estatística: como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a variável é normalmente distribuída, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste é
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=3,48),
  • \mu_0 é o valor hipotético da média sob H_0 (aqui \mu_0=3),
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=0,9),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=15),
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional).
Explicação intuitiva: subtraímos a média sob H_0 da média observada e normalizamos dividindo pelo erro padrão; assim obtemos quantos desvios-padrão a média amostral está acima (ou abaixo) de \mu_0.

Passo 4

Calcular o erro padrão \sigma/\sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{15}\approx 3,87298
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,9}{\sqrt{15}}=\frac{0,9}{3,87298}\approx 0,2323
Aqui explico: dividir 0,9 por 3,87298 dá aproximadamente 0,2323. Esse número significa que a média amostral costuma variar cerca de 0,2323 unidades de desgaste em torno da média populacional.

Passo 5

Calcular o valor observado do estatístico z:
\bar{x}-\mu_0=3,48-3=0,48
z=\frac{0,48}{0,2323}\approx 2,066\approx 2,06
Interpretação: a média amostral está cerca de 2,06 desvios-padrão acima de 3.

Passo 6

Determinar o valor crítico (tabela) para \alpha=0,05 em teste unilateral à direita: procuramos z_{1-\alpha}. Para \alpha=0,05 temos o quantil correspondente aproximadamente z_{0,95}\approx 1,64 (tabelas comuns fornecem 1,64 ou mais precisamente 1,645). Aqui usamos 1,64 conforme solicitado. A região crítica é z>1,64.

Passo 7

Comparação e decisão: como o valor calculado z_{\text{calc}}\approx 2,06 é maior que o crítico z_{\text{tab}}=1,64, caímos na região crítica. Portanto rejeitamos H_0 ao nível de significância \alpha=0,05.
Interpretação em contexto: há evidência estatística suficiente para afirmar que a média do desgaste após 10.000 km é maior que 3. Isso indica que a concessionária provavelmente terá de arcar com custos de substituição com base nessa amostra.
Observação adicional (p‑valor): para referência, o p‑valor é p = 1-\Phi(2,06)\approx 0,02, ou seja, aproximadamente 2\%, o que é menor que \alpha=5\%, corroborando a rejeição de H_0.

Resposta

z_{\text{calc}}=2,06 ; z_{\text{tab}}=1,64 (teste unilateral à direita) ; Rejeita-se H_0.

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