Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de 1,5 polegadas. Uma amostra aleatória de 25 mancais foi selecionada e obteve média igual a 1,495 e desvio padrão (s) igual a 0,02 polegada. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído. Teste a hipótese
versus
, usando
Resp:
(teste unilateral à esquerda); Aceita-se
.
Passo 1
O enunciado pede que façamos um teste de hipótese unilateral à esquerda sobre a média do diâmetro interno dos mancais. As informações dadas são:
(tamanho da amostra),
(média amostral),
(desvio-padrão amostral), e assume-se que o diâmetro é normalmente distribuído. O nível de significância é
. O que precisamos responder é se há evidência, a
, de que a média real
é menor que
.
Passo 2
Formulamos as hipóteses e definimos o teste:
Explicação do teste que vamos usar: como não conhecemos o desvio padrão populacional e a amostra é moderada (
), usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o valor sob (aqui ); -
é o desvio-padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Se a população é normal, então essa estatística segue a distribuição t de Student comgraus de liberdade (vou calcular adiante).
Passo 3
Calculemos o erro padrão da média (standard error):
Como
, obtemos
Explicação curta: o erro padrão mede a variação esperada da média amostral em torno da média populacional; divide-se o desvio-padrão amostral pela raiz do tamanho da amostra.
Passo 4
Agora calculamos a estatística
substituindo os valores:
Detalhe das contas:
. Dividindo por
dá
.
Passo 5
Determinar os graus de liberdade e o valor crítico:
Como o teste é unilateral à esquerda com
, queremos o valor
tal que
quando
tem
graus de liberdade. Usando tabela da t de Student (ou software), para área superior
e
encontra-se
. O valor crítico à esquerda é o simétrico negativo:
Explicação de como ler a tabela: muitas tabelas dão o quantil positivo para a área à direita; como queremos a cauda esquerda de tamanho
, o ponto crítico é
.
Passo 6
Regra de decisão: para teste unilateral à esquerda rejeitamos
se
Aqui temos
e
. Comparando:
ou seja,
não está na região crítica da cauda esquerda. Portanto não rejeitamos
.
Passo 7
Cálculo aproximado do p-valor para reforçar a decisão: o p-valor é
com
. Pelas tabelas ou software, o p-valor unilateral corresponde aproximadamente a
(valor duas caudas
, então uma cauda
). Como
, isso confirma que não há evidência suficiente para rejeitar
a
.
Passo 8
Conclusão em linguagem simples e interpretação: com os dados da amostra não há evidência significativa, ao nível de
, de que a média do diâmetro dos mancais seja menor que
. Assim aceitamos (ou melhor: não rejeitamos)
. Força aí nos estudos — o cálculo bate com a resposta que você trouxe:
e
.
Resposta
Aceita-se