Um mancal usado em uma aplicação automotiva deve ter um diâmetro nominal interno de 1,5 polegadas. Uma amostra aleatória de 25 mancais foi selecionada e obteve média igual a 1,495 e desvio padrão (s) igual a 0,02 polegada. Sabe-se que o diâmetro do mancal é normalmente distribuído. Teste a hipótese H_{0}: \mu=1,5 versus H_{1}: \mu<1,5, usando \alpha=1 \%
Resp: t_{\text {calc }}=-1,25 ; t_{\text {tab }}=-2,49 (teste unilateral à esquerda); Aceita-se H_{0}.

Passo 1

O enunciado pede que façamos um teste de hipótese unilateral à esquerda sobre a média do diâmetro interno dos mancais. As informações dadas são:
\displaystyle n=25 (tamanho da amostra), \displaystyle \bar{x}=1,495 (média amostral), \displaystyle s=0,02 (desvio-padrão amostral), e assume-se que o diâmetro é normalmente distribuído. O nível de significância é \displaystyle \alpha=1\%. O que precisamos responder é se há evidência, a \displaystyle \alpha=1\%, de que a média real \mu é menor que \displaystyle 1,5.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e definimos o teste:
H_{0}: \mu = 1,5
H_{1}: \mu < 1,5
Explicação do teste que vamos usar: como não conhecemos o desvio padrão populacional e a amostra é moderada ( \displaystyle n=25), usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \displaystyle \bar{x} é a média amostral (aqui \displaystyle 1,495);
  • \displaystyle \mu_{0} é o valor sob H_{0} (aqui \displaystyle 1,5);
  • \displaystyle s é o desvio-padrão amostral (aqui \displaystyle 0,02);
  • \displaystyle n é o tamanho da amostra (aqui \displaystyle 25).
    Se a população é normal, então essa estatística segue a distribuição t de Student com \nu=n-1 graus de liberdade (vou calcular \nu adiante).

Passo 3

Calculemos o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,02}{\sqrt{25}}.
Como \sqrt{25}=5, obtemos
\text{SE}=\frac{0,02}{5}=0,004.
Explicação curta: o erro padrão mede a variação esperada da média amostral em torno da média populacional; divide-se o desvio-padrão amostral pela raiz do tamanho da amostra.

Passo 4

Agora calculamos a estatística t substituindo os valores:
t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\text{SE}}=\frac{1,495-1,5}{0,004}=\frac{-0,005}{0,004}=-1,25.
Detalhe das contas: 1,495-1,5=-0,005. Dividindo por 0,004 -1,25.

Passo 5

Determinar os graus de liberdade e o valor crítico:
\nu=n-1=25-1=24.
Como o teste é unilateral à esquerda com \displaystyle \alpha=1\%, queremos o valor t_{\text{crit}} tal que P(T\le t_{\text{crit}})=0,01 quando T tem 24 graus de liberdade. Usando tabela da t de Student (ou software), para área superior 0,99 e \nu=24 encontra-se t_{0,99;24}\approx 2,492. O valor crítico à esquerda é o simétrico negativo:
t_{\text{tab}} = -2,492\approx -2,49.
Explicação de como ler a tabela: muitas tabelas dão o quantil positivo para a área à direita; como queremos a cauda esquerda de tamanho 0,01, o ponto crítico é -t_{0,99;24}.

Passo 6

Regra de decisão: para teste unilateral à esquerda rejeitamos H_{0} se
t_{\text{calc}}\le t_{\text{tab}}.
Aqui temos t_{\text{calc}}=-1,25 e t_{\text{tab}}=-2,492. Comparando:
-1,25 > -2,492,
ou seja, \,t_{\text{calc}} não está na região crítica da cauda esquerda. Portanto não rejeitamos H_{0}.

Passo 7

Cálculo aproximado do p-valor para reforçar a decisão: o p-valor é P(T\le -1,25) com \nu=24. Pelas tabelas ou software, o p-valor unilateral corresponde aproximadamente a 0,11 (valor duas caudas \approx 0,224, então uma cauda \approx 0,112). Como 0,11>0,01, isso confirma que não há evidência suficiente para rejeitar H_{0} a \alpha=1\%.

Passo 8

Conclusão em linguagem simples e interpretação: com os dados da amostra não há evidência significativa, ao nível de 1\%, de que a média do diâmetro dos mancais seja menor que \displaystyle 1,5. Assim aceitamos (ou melhor: não rejeitamos) H_{0}. Força aí nos estudos — o cálculo bate com a resposta que você trouxe: \,t_{\text{calc}}=-1,25 e \,t_{\text{tab}}\approx -2,49.

Resposta

t_{\text{calc}}=-1,25
t_{\text{tab}}=-2,49 (teste unilateral à esquerda)
Aceita-se H_{0}.

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