Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de R$ 140 cada. Os números de venda indicam que, se os fogões forem vendidos a “x” reais cada, aproximadamente (850 – x) serão vendidos por mês. Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda “x”: qual o preço ótimo de venda, ou seja, o preço para o qual o lucro é máximo? Escolha uma opção:
a. LM = x² - 140x + 850
b. LM = x² + 140x + 119.000
c. LM = -x² - 990x – 850
d. LM = x² + 850x – 140
e. LM = -x² + 990x – 119.000

Passo 1

Então, você tem um produtor que fabrica fogões por R$140 cada. Se ele vender cada fogão por “x” reais, ele consegue vender aproximadamente (850 – x) fogões por mês. A gente precisa descobrir qual é o lucro mensal desse produtor em função de “x” e encontrar o preço “x” que faz esse lucro ser o máximo. Vamos usar conceitos de receita, custo e função quadrática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Receita. Receita é o dinheiro que o produtor ganha vendendo os fogões. É igual ao preço de venda multiplicado pela quantidade vendida:
Receita = x times (850 - x)
Então, Receita = $ x(850 - x) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Custo. O custo é o quanto o produtor gasta para fabricar os fogões que ele vende. É igual ao custo por fogão multiplicado pela quantidade vendida:
Custo = 140 times (850 - x)
Então, Custo = $ 140(850 - x) $.

Passo 4

O Lucro é a diferença entre a Receita e o Custo. Então:
Lucro = Receita - Custo = x(850 - x) - 140(850 - x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do Lucro:
Lucro &= x(850 - x) - 140(850 - x) &= 850x - x^2 - 119000 + 140x &= -x^2 + 990x - 119000
Então, a função do lucro em termos de “x” é:
LM = -x^2 + 990x - 119000

Passo 6

Para encontrar o preço ótimo que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice da parábola representada pela função quadrática. A fórmula para encontrar o valor de “x” no vértice é:
x = -b2a
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 990 $, então:
a = -1

Resposta

O preço ótimo de venda que maximiza o lucro é R$495.

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