1. Uma variável aleatória discreta X\) tem a seguinte função de probabilidade \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{k}{(x+2)!} & x=0,1 \\\\ 0 & x \neq 0 \text { e } x \neq 1\end{cases}
onde k\] é uma constante. Determine o valor de \(k e calcule f(0) e f(1). \mathbf{R}: \mathbf{k = 3 / 2 , ~} \mathbf{f ( 0 ) = 3 / 4} e \mathbf{f ( 1 ) = 1 / 4}

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade discreta
f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{k}{(x+2)!} & x=0,1 \\[6pt] 0 & x \neq 0 \text{ e } x \neq 1\end{cases}
onde k é uma constante desconhecida. As perguntas são:
  1. Determinar o valor de k.
  2. Calcular f(0).
  3. Calcular f(1).
Informações relevantes fornecidas: a função é não nula apenas em x=0 e x=1; a expressão para esses pontos é \dfrac{k}{(x+2)!}. Aqui f_X(x) é a função massa de probabilidade (PMF) — ou seja, cada f_X(x) é a probabilidade de X assumir o valor x, e as probabilidades sobre todos os valores possíveis devem somar 1. O símbolo n! significa fatorial: n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 (por convenção 0!=1).]

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental de uma PMF: as probabilidades para todos os valores possíveis de X somam 1. Como f_X(x) é zero para todos os valores, exceto x=0 e x=1, basta somar esses dois valores:
f_X(0)+f_X(1)=1.
Essa equação permitirá achar k.

Passo 3

Escrevo explicitamente f_X(0) e f_X(1) usando a expressão dada:
f_X(0)=\dfrac{k}{(0+2)!}=\dfrac{k}{2!},\qquad f_X(1)=\dfrac{k}{(1+2)!}=\dfrac{k}{3!}.
Aqui usei que (0+2)!=2! e (1+2)!=3!. Vou avaliar esses fatoriais no próximo passo.

Passo 4

Calculo os fatoriais (lembrando a definição):
2! = 2\cdot1 = 2,\qquad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Substituo esses valores em f_X(0) e f_X(1):
f_X(0)=\dfrac{k}{2},\qquad f_X(1)=\dfrac{k}{6}.

Passo 5

Agora imponho a soma das probabilidades igual a 1:
\dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{6} = 1.

Passo 6

Somando as frações do lado esquerdo: o denominador comum é 6. Escrevo cada parcela com denominador 6:
\dfrac{k}{2} = \dfrac{3k}{6},\qquad \dfrac{k}{6}=\dfrac{k}{6}.
Então
\dfrac{3k}{6}+\dfrac{k}{6}=\dfrac{4k}{6}=1.

Passo 7

Resolvo para k:
\dfrac{4k}{6}=1 \quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{6}{4}.
Simplifico a fração \dfrac{6}{4} dividindo numerador e denominador por 2:
k=\dfrac{3}{2}.

Passo 8

Com k=\dfrac{3}{2}, calculo f_X(0):
f_X(0)=\dfrac{k}{2}=\dfrac{\tfrac{3}{2}}{2}=\tfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.
Expliquei a operação: dividir por 2 é multiplicar por \tfrac{1}{2}.

Passo 9

Calculo f_X(1) com k=\dfrac{3}{2}:
f_X(1)=\dfrac{k}{6}=\dfrac{\tfrac{3}{2}}{6}=\tfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.
Mostrei a multiplicação de frações e a simplificação final.

Passo 10

Faço uma checagem rápida: f_X(0)+f_X(1)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1, e ambas as probabilidades são não negativas. Portanto os valores encontrados são consistentes com a definição de PMF.

Resposta

k=\dfrac{3}{2}
f(0)=\dfrac{3}{4}
f(1)=\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados