Uma variável aleatória discreta X\) tem a seguinte função de probabilidade
\[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{k}{(x+2)!} & x=0,1 \\\\ 0 & x \neq 0 \text { e } x \neq 1\end{cases}
onde k\] é uma constante. Determine o valor de \(k e calcule f(0) e f(1). \mathbf{R}: \mathbf{k = 3 / 2 , ~} \mathbf{f ( 0 ) = 3 / 4} e \mathbf{f ( 1 ) = 1 / 4}
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade discreta
f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{k}{(x+2)!} & x=0,1 \\[6pt] 0 & x \neq 0 \text{ e } x \neq 1\end{cases}
onde k é uma constante desconhecida. As perguntas são:
Determinar o valor de k.
Calcular f(0).
Calcular f(1).
Informações relevantes fornecidas: a função é não nula apenas em x=0 e x=1; a expressão para esses pontos é \dfrac{k}{(x+2)!}. Aqui f_X(x) é a função massa de probabilidade (PMF) — ou seja, cada f_X(x) é a probabilidade de X assumir o valor x, e as probabilidades sobre todos os valores possíveis devem somar 1. O símbolo n! significa fatorial: n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 (por convenção 0!=1).]
Passo 2
Usamos a propriedade fundamental de uma PMF: as probabilidades para todos os valores possíveis de X somam 1. Como f_X(x) é zero para todos os valores, exceto x=0 e x=1, basta somar esses dois valores:
f_X(0)+f_X(1)=1.
Essa equação permitirá achar k.
Passo 3
Escrevo explicitamente f_X(0) e f_X(1) usando a expressão dada:
Mostrei a multiplicação de frações e a simplificação final.
Passo 10
Faço uma checagem rápida: f_X(0)+f_X(1)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1, e ambas as probabilidades são não negativas. Portanto os valores encontrados são consistentes com a definição de PMF.