Um produtor de uvas está estudando a possibilidade de instalação de um sistema de irrigação em sua propriedade. Estima que deverá desembolsar na compra e instalação dos equipamentos ( $60.000). O sistema tem uma vida útil bastante longa que pode ser considerada infinita. Entretanto, o fornecedor informou que o proprietário deverá realizar uma revisão geral de todo o sistema a cada cinco anos, indefinidamente, para mantê-lo em condições ideais de operação sem prejuízos para sua eficiência. E, cada revisão estima-se um gasto de $5.000. Para uma taxa de juros de 12 % a.a. qual o valor total do investimento, a valor presente, a ser realizado pelo empresário no projeto?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. O produtor gasta R$ 60 000 agora com o sistema (investimento inicial) e, a cada 5 anos, pra sempre, vai gastar R$ 5 000 numa revisão. A taxa é de 12 % ao ano. Queremos saber quanto vale tudo isso hoje, ou seja, o Valor Presente (VP) desse investimento infinito.
Conteúdo: finanças (VP de fluxos de caixa), séries geométricas e desconto de juros. Vamos precisar da fórmula de soma de progressão geométrica infinita e do conceito de fator de desconto para n anos: 60 000 agora com o sistema (investimento inicial) e, a cada 5 anos, pra sempre, vai gastar R.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o fator de desconto de 5 em 5 anos.
  1. Calcular (1+0,12)^5 = 1,12^5 approx 1,76234 :
q = 11,12^5 approx 0,56743
  1. Então o fator de desconto para 5 anos é
Isto significa que um real recebido só lá no ano 5 vale hoje R$ 0,56743.

Passo 3

Agora o Valor Presente das revisões infinitas de R$ 5 000 a cada 5 anos é uma série geométrica:
VPrevisões = sumk=1^infty 5000cdot q^k = 5000;q1 - q õ
Substituindo VPrevisões = 5000;0,567431 - 0,56743 = 5000;0,567430,43257 approx 5000 times 1,3125 approx 6,562,50 :
VPtotal = 60,000 + 6,562,50 approx 66,562,50 õ
Depois, somamos o investimento inicial:

Resposta

O valor presente total do investimento é aproximadamente R$ 66 562,50.

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