Produtos escalar e vetorial
Considere os seguintes vetores
\begin{aligned} & \vec{a}=(3,2) \\\ & \vec{b}=(-2,3) \end{aligned}
calcule:
a) O produto escalar \vec{a} \cdot \vec{b} em vetores unitários.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{a}=(3,2)
e
\vec{b}=(-2,3)
e pede para calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} “em vetores unitários”.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\vec{a}=(3,2),\qquad \vec{b}=(-2,3).
A pergunta clara é: qual é o valor de \vec{a}\cdot\vec{b} escrevendo os vetores em termos dos vetores unitários da base (por exemplo \hat{i},\hat{j})?

Passo 2

Vamos escrever os vetores usando vetores unitários da base cartesiana. Os vetores unitários padrão no plano são \hat{i} (direção x) e \hat{j} (direção y). Escrever um par ordenado (x,y) em forma vetorial dá:
(x,y)=x\hat{i}+y\hat{j}.
Aplicando aos nossos vetores:
\vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j},
\vec{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}.

Passo 3

Precisamos da definição do produto escalar em componentes. Para vetores em duas dimensões, se
\vec{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}\quad\text{e}\quad \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j},
o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Por que isso vale? Porque usamos as propriedades
\hat{i}\cdot\hat{i}=1,\quad \hat{j}\cdot\hat{j}=1,\quad \hat{i}\cdot\hat{j}=0,
e expansão bilinear do produto escalar:
(u_x\hat{i}+u_y\hat{j})\cdot(v_x\hat{i}+v_y\hat{j}) = u_x v_x (\hat{i}\cdot\hat{i}) + u_x v_y (\hat{i}\cdot\hat{j}) + u_y v_x (\hat{j}\cdot\hat{i}) + u_y v_y (\hat{j}\cdot\hat{j}) = u_x v_x + u_y v_y.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso concreto. Para \vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j} e \vec{b}=-2\hat{i}+3\hat{j} temos:
\vec{a}\cdot\vec{b}= (3)(-2) + (2)(3).

Passo 5

Calcule passo a passo a soma:
(3)(-2) = -6,
(2)(3) = 6,
-6 + 6 = 0.
Portanto o produto escalar é zero. Como interpretação rápida: o produto escalar zero indica que \vec{a} é ortogonal (perpendicular) a \vec{b}.

Resposta

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