Integrais simples
Encontre a área e o volume das geometrias seguintes usando as integrais:
a) Área de um disco de raio R \quad(d A=r d r d \theta)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área de um disco de raio R. Informação dada importante: o elemento de área em coordenadas polares é \,dA = r\,dr\,d\theta. Não há outras perguntas nesta parte (apenas a área do disco).

Passo 2

Entendendo o que é o disco e como usar o elemento de área: um disco de raio R é o conjunto de pontos do plano cuja distância ao centro é menor ou igual a R. Em coordenadas polares cada ponto é descrito por (r,\theta), onde r é a distância ao centro e \theta é o ângulo. Para somar (integrar) pequenas áreas sobre o disco usamos o elemento de área em polares \,dA = r\,dr\,d\theta. Vou explicar por que aparece o fator r:
Derivação intuitiva do fator r: imagine um pequeno retângulo em coordenadas polares formado por variações \Delta r e \Delta \theta. O comprimento do arco correspondente à variação angular \Delta \theta a uma distância r do centro é aproximadamente r\Delta\theta. Assim a pequena área é aproximadamente (\Delta r)\times(r\Delta\theta)=r\,\Delta r\,\Delta\theta. No limite \Delta r,\Delta\theta\to 0 isso vira r\,dr\,d\theta. Pronto — é por isso do r.

Passo 3

Escolhendo os limites de integração: para cobrir todo o disco r varia de 0 até R e \theta varia de 0 até 2\pi. Então a área A é dada pela integral dupla em coordenadas polares:
A=\iint_{\text{disco}} dA=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna (em r). A integral de r em relação a r é feita usando a primitiva \int r\,dr = \tfrac{1}{2}r^{2}. Então
\int_{r=0}^{R} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{R}=\tfrac{1}{2}R^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=\tfrac{1}{2}R^{2}.
Expliquei passo a passo: calculei a primitiva e apliquei os limites 0 e R.

Passo 5

Agora integro em \theta. A integral restante é
A=\int_{0}^{2\pi} \left(\tfrac{1}{2}R^{2}\right) d\theta = \tfrac{1}{2}R^{2}\int_{0}^{2\pi} d\theta.
A integral de d\theta de 0 a 2\pi é simplesmente 2\pi. Portanto
A=\tfrac{1}{2}R^{2}\cdot 2\pi = \pi R^{2}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: o resultado é a clássica fórmula da área do círculo. Dimensionalmente, R^{2} tem dimensão de área e \pi é adimensional, faz sentido. Como verificação numérica simples: se R=1 então A=\pi, que é a área do círculo unitário — faz sentido.

Resposta

\displaystyle A=\pi R^{2}

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