Um dos produtos liberados nos acidentes em usinas nucleares é o isótopo do estrôncio 90, Sr^90, cuja meia-vida é de 28 anos. Se uma explosão nuclear liberou 30 g desse isótopo :
a) ( 1,0 pt ) Determine a fórmula da função que dá a massa M, em gramas, de estrôncio em função do tempo t decorrido desde a explosão (em anos).
b) (0,5 pt) Determine a massa 84 anos após a explosão.
c) (1,0 pt) Determine o tempo necessário para que a massa seja de 1,5 times 10^-6 g.

Passo 1

O enunciado diz que o isótopo Sr^90 tem meia-vida de 28 anos e, logo após a explosão, havia 30 g dele. Precisamos:
  1. Montar a função de decaimento exponencial usando o conceito de meia-vida.
  2. Avaliar essa função em t=84 anos.
  3. Encontrar t tal que a massa seja 1,5times10^-6 g.
O conteúdo aqui é decaimento radioativo, que segue a lei
M(t)=M0l(tfrac12r)^t/T1/2,
onde M0 é a massa inicial e T1/2 a meia-vida.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos M0=30 g e T1/2=28 anos. Assim,
M(t)=30;l(tfrac12r)^,t/28

Passo 3

Para t=84 anos, calcule
M(84)=30;l(tfrac12r)^84/28 =30;l(tfrac12r)^3 =30cdot18 =3,75 g

Passo 4

Queremos t tal que
30;l(tfrac12r)^t/28=1,5times10^-6
Dividindo por 30:
l(tfrac12r)^t/28 =1,5times10^-630 =5times10^-8
Tirando logaritmo natural:
t28,ln!l(tfrac12r) =lnl(5times10^-8r) Longrightarrow t =28;ln(5times10^-8)ln(tfrac12)
Numericamente,
ln(5times10^-8)approx-16,8113 e ln(tfrac12)=-0,6931, logo
tapprox28cdot-16,8113-0,6931 approx679 anos

Resposta

(a) M(t)=30l(tfrac12r)^t/28.
(b) M(84)=3,75 g.
(c) tapprox679 anos.

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