(1,5 pt) Determine o conjunto-solução da inequação 3-2 xx^2-3 x-4 >= 0.

Passo 1

Resumindo: precisamos resolver a inequação
3-2xx^2-3x-4>= 0
O conteúdo é inequações de funções racionais, que se resolvem fazendo análise de sinais. Vamos fatorar numerador e denominador, achar zeros e estudar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Fatoramos cada polinômio:
3-2x=-2,(x-tfrac32),
x^2-3x-4=(x-4),(x+1)
Então a expressão vira
3-2xx^2-3x-4 =-2,(x-tfrac32)(x-4)(x+1)
Os pontos críticos são as raízes do numerador e os zeros do denominador:
– numerador zero em x=tfrac32,
– denominador zero em x=-1 e x=4 (nestes pontos a expressão não está definida).
O domínio é
Rsetminus-1,4

Passo 3

Vamos estudar o sinal de cada fator nos intervalos determinados por -1, tfrac32 e 4. O fator constante -2 é sempre negativo e não muda de sinal.
  1. Em (-infty,-1):
    (x-tfrac32)<0, (x-4)<0, (x+1)<0.
    Numerador: -2)times(negativo)>0.
    Denominador: (negativo)times(negativo)>0.
    Fração positiva.
  2. Em (-1,tfrac32):
    (x-tfrac32)<0, (x-4)<0, (x+1)>0.
    Numerador >0, denominador <0. Fração negativa.
  3. Em (tfrac32,4):
    (x-tfrac32)>0, (x-4)<0, (x+1)>0.
    Numerador <0, denominador <0. Fração positiva.
  4. Em (4,infty):
    (x-tfrac32)>0, (x-4)>0, (x+1)>0.
    Numerador <0, denominador >0. Fração negativa.

Passo 4

A inequação pede onde a fração é >=0, ou seja, positiva ou zero. Dos intervalos só (-infty,-1) e (tfrac32,4) são positivos. O ponto x=tfrac32 zera o numerador, então também satisfaz >=0. Devemos excluir -1 e 4 (denominador nulo). Assim o conjunto–solução é
(-infty,-1),cup,[tfrac32,4)

Resposta

(-infty,-1)cupl[tfrac32,4r)

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