(1,5 pt) Se f(x)=x-12 x+3, determine a fórmula de f^-1(x). O que podemos dizer sobre o gráfico de uma função e de sua inversa?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=x-12x+3
e queremos encontrar sua inversa f^-1 e comentar a relação entre os gráficos de f e de f^-1.\n

Passo 2

Antes de achar a inversa, identificamos o domínio e a imagem de f, pois o domínio de f^-1 será a imagem de f e vice-versa.
O denominador 2x+3 não pode ser zero, logo o domínio de f é
Df=Rsetminusl-tfrac32r
Como limxtopminftyf(x)=tfrac12, a reta y=tfrac12 é assíntota horizontal e não é atingida, então a imagem de f é
Im(f)=Rsetminusltfrac12r

Passo 3

Para achar f^-1, escrevemos
y=x-12x+3
e resolvemos para x em função de y:
y(2x+3)=x-1
2xy+3y=x-1
2xy - x = -1 -3y
x(2y-1)=-(3y+1)
x=-(3y+1)2y-1

Passo 4

Trocando y por x para expressar f^-1(x), obtemos
f^-1(x) = -(3x+1)2x-1
O domínio de f^-1 é Rsetminustfrac12 e sua imagem é Rsetminus-tfrac32, conforme esperado pela troca de domínio e imagem.\n

Passo 5

Em relação aos gráficos, o de f^-1 é o reflexo do gráfico de f em relação à reta
y=x
Isso significa que cada ponto (a,b) no gráfico de f corresponde ao ponto (b,a) no gráfico de f^-1.\n

Resposta

f^-1(x)=-(3x+1)2x-1
Os gráficos de f e de f^-1 são simétricos em relação à reta y=x.

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