Produtos de vetores II. Mostre que
(a)
(A times B) cdot(C times D)=(A cdot C)(B cdot D)-(A cdot D)(B cdot C)

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente prove a identidade
(A times B) cdot (C times D) = (A cdot C)(B cdot D) - (A cdot D)(B cdot C),
Isso faz parte de “Produto de vetores II” e a parada principal que a gente vai usar é a notação indicial (Levi-Civita e delta de Kronecker) para expandir produto vetorial e escalar. Não precisa manjar tudo de teoria; vou explicar passo a passo como usar essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, lembra que em notação de índices (índices vão de 1 a 3):
(A times B)i = varepsiloni j k,Aj,Bk, (C times D)i = varepsiloni ell m,Cell,Dm,
onde (A times B) cdot (C times D) = (A times B)i ,(C times D)i = varepsiloni j k,varepsiloni ell m, Aj,Bk,Cell,Dm é o símbolo de Levi-Civita (que vale +1, –1 ou 0).
Então o produto escalar fica

Passo 3

Agora a gente usa a identidade chave dos epsilons:
varepsiloni j k,varepsiloni ell m = de
onde (AtimesB)cdot(CtimesD) = l(de é o delta de Kronecker (1 se , 0 caso contrário). Substituindo,

Passo 4

Agora vamos “fechar” as somas dos deltas:
  • No primeiro termo (AtimesB)cdot(CtimesD) = (AcdotC)(BcdotD) - (AcdotD)(BcdotC) , usar e .
    Damos então .
  • No segundo termo , fica .
Somando os dois:

Resposta

Mostramos que
(A times B) cdot (C times D) = (A cdot C)(B cdot D) - (A cdot D)(B cdot C),
como pedido.

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