Produtos de vetores II. Mostre que
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente prove a identidade
Isso faz parte de “Produto de vetores II” e a parada principal que a gente vai usar é a notação indicial (Levi-Civita e delta de Kronecker) para expandir produto vetorial e escalar. Não precisa manjar tudo de teoria; vou explicar passo a passo como usar essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, lembra que em notação de índices (índices vão de 1 a 3):
onde
é o símbolo de Levi-Civita (que vale +1, –1 ou 0).
Então o produto escalar fica
Então o produto escalar fica
Passo 3
Agora a gente usa a identidade chave dos epsilons:
onde
é o delta de Kronecker (1 se
, 0 caso contrário). Substituindo,
Passo 4
Agora vamos “fechar” as somas dos deltas:
- No primeiro termo
, usar e .
Damos então. - No segundo termo
, fica .
Somando os dois:
Resposta
Mostramos que
como pedido.