Produzindo e vendendo
unidades de uma mercadoria, uma empresa obtém uma receita total de
e incorre em um custo de
. Seja
a função lucro da firma? Qual nível de produção maximiza o lucro?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que vende Q unidades de um produto. A receita total da empresa é dada pela função
e o custo total é
. A função lucro é definida como
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o nível de produção (Q) que maximiza esse lucro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função lucro
. Isso é simples: subtraímos o custo total da receita total.
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
Passo 4
Temos uma função quadrática da forma
, onde:
Como o coeficiente de
(a) é negativo, sabemos que a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto máximo.
Passo 5
Para encontrar o valor de Q que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Substituindo os valores de a e b:
Resposta
O nível de produção que maximiza o lucro é de 9.000 unidades.