Produzindo e vendendo Q unidades de uma mercadoria, uma empresa obtém uma receita total de R(Q)=-0,0016 Q^2+44 Q e incorre em um custo de C(Q)=0,0004 Q^2+8 Q+64000. Seja pi(Q)=R(Q)-C(Q) a função lucro da firma? Qual nível de produção maximiza o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que vende Q unidades de um produto. A receita total da empresa é dada pela função e o custo total é . A função lucro é definida como . Nosso objetivo aqui é descobrir qual o nível de produção (Q) que maximiza esse lucro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função lucro pi(Q) = R(Q) - C(Q) = (-0,0016 Q^2 + 44 Q) - (0,0004 Q^2 + 8 Q + 64000) . Isso é simples: subtraímos o custo total da receita total.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
pi(Q) = -0,0016 Q^2 + 44 Q - 0,0004 Q^2 - 8 Q - 64000
pi(Q) = (-0,0016 - 0,0004) Q^2 + (44 - 8) Q - 64000
pi(Q) = -0,002 Q^2 + 36 Q - 64000

Passo 4

Temos uma função quadrática da forma , onde:
Como o coeficiente de (a) é negativo, sabemos que a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto máximo.

Passo 5

Para encontrar o valor de Q que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Q = -b2a
Substituindo os valores de a e b:
Q = -362 times (-0,002) = -36-0,004 = 9000

Resposta

O nível de produção que maximiza o lucro é de 9.000 unidades.

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