Ache cada limite.
r lim x 4 4-x|4-x|-lim x 3 raizx+6-xx^3-3 x^2 -lim x infty(raizx^2+4 x+1-x)-lim x 0 raizx^2+x^3 sen 1x

Passo 1

Vamos analisar o exercício que envolve calcular uma expressão com vários limites. O conteúdo principal que vamos utilizar aqui são os conceitos de limites, propriedades de funções contínuas, e comportamentos assintóticos. Precisaremos entender como manipular expressões com valores absolutos, radicais, e funções oscilatórias para resolver cada parte do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando lim x 4 4-x|4-x| se aproxima de 4 na expressão:
Para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 4.

Passo 3

Para 4 - x|4 - x| = 4 - x4 - x = 1 próximo de 4, vamos considerar os dois casos: 4 - x|4 - x| = 4 - xx - 4 = -1 e .
  • Se , então , então , e:
  • Se , então , então , e:

Passo 4

Como lim x 4 4-x|4-x| não existe se aproxima de 4, observamos que:
  • Pelo lado esquerdo ( ), o limite é 1.
  • Pelo lado direito ( ), o limite é -1.
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, concluímos que:
ã

Passo 5

Vamos calcular o segundo limite:
lim x 3 raizx+6-xx^3-3 x^2
Primeiro, vamos simplificar a expressão.

Passo 6

Observamos que quando :
  • O numerador:
  • O denominador:
Como obtemos uma forma indeterminada , podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 7

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador:
ddx ( raizx + 6 - x ) = 12 raizx + 6 - 1
  • Derivada do denominador:
ddx ( x^3 - 3x^2 ) = 3x^2 - 6x

Passo 8

Aplicamos a regra de L’Hôpital:
limx to 3 12 raizx + 6 - 13x^2 - 6x
Substituímos 12 raiz3 + 6 - 1 = 12 cdot 3 - 1 = 16 - 1 = -56 :
  • Numerador:
3 cdot 3^2 - 6 cdot 3 = 27 - 18 = 9
  • Denominador:
-569 = -554
Então:

Passo 9

Agora, vamos calcular o terceiro limite:
lim x infty(raizx^2+4 x+1-x)
Para lidar com limites que envolvem o infinito, uma técnica comum é racionalizar ou dividir por .

Passo 10

Multiplicamos e dividimos por limx to infty ( raizx^2+4x+1 - x ) cdot raizx^2+4x+1 + xraizx^2+4x+1 + x = limx to infty x^2+4x+1 - x^2raizx^2+4x+1 + x = limx to infty 4x+1raizx^2+4x+1 + x :

Passo 11

Dividimos o numerador e o denominador por limx to infty 4 + 1xraiz1 + 4x + 1x^2 + 1 :
4 + 0raiz1 + 0 + 0 + 1 = 41 + 1 = 42 = 2
Quando , , então:

Passo 12

Por fim, vamos calcular o quarto limite:
lim x 0 raizx^2+x^3 cdot sen 1x
Sabemos que a função (seno) está sempre entre -1 e 1, e que se comporta como quando .

Passo 13

Simplificamos a expressão:
raizx^2 + x^3 = |x| raiz1 + x
Como raizx^2 + x^3 approx |x| , limx to 0 |x| cdot sen 1x , então:
- |x| <= |x| cdot sen 1x <= |x|
Então, temos:
limx to 0 |x| cdot sen 1x = 0
Como está entre -1 e 1, então:
Pelo teorema do Sanduíche, já que , então:

Resposta

Substituindo todos os limites calculados na expressão original:
Limite 1 - Limite 2 - Limite 3 - Limite 4 = 1 - (-554) - 2 - 0
Simplificando:
1 + 554 - 2 = -1 + 554 = -4954
Então, a resposta final é:
-4954

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