Ache cada limite.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve calcular uma expressão com vários limites. O conteúdo principal que vamos utilizar aqui são os conceitos de limites, propriedades de funções contínuas, e comportamentos assintóticos. Precisaremos entender como manipular expressões com valores absolutos, radicais, e funções oscilatórias para resolver cada parte do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 4 na expressão:
Para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de 4.
Passo 3
Para
próximo de 4, vamos considerar os dois casos:
e
.
- Se
, então , então , e:
- Se
, então , então , e:
Passo 4
Como
se aproxima de 4, observamos que:
- Pelo lado esquerdo (
), o limite é 1. - Pelo lado direito (
), o limite é -1.
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, concluímos que:
Passo 5
Vamos calcular o segundo limite:
Primeiro, vamos simplificar a expressão.
Passo 6
Observamos que quando
:
- O numerador:
- O denominador:
Como obtemos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 7
Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 8
Aplicamos a regra de L’Hôpital:
Substituímos
:
- Numerador:
- Denominador:
Então:
Passo 9
Agora, vamos calcular o terceiro limite:
Para lidar com limites que envolvem o infinito, uma técnica comum é racionalizar ou dividir por
.
Passo 10
Multiplicamos e dividimos por
:
Passo 11
Dividimos o numerador e o denominador por
:
Quando
,
, então:
Passo 12
Por fim, vamos calcular o quarto limite:
Sabemos que a função
(seno) está sempre entre -1 e 1, e que
se comporta como
quando
.
Passo 13
Simplificamos a expressão:
Como
,
, então:
Então, temos:
Como
está entre -1 e 1, então:
Pelo teorema do Sanduíche, já que
, então:
Resposta
Substituindo todos os limites calculados na expressão original:
Simplificando:
Então, a resposta final é: