1. Para produzir x pares de skis, uma companhia tem um custo de C(x)=80+0,2 x^{2}. A renda é dada por R(x)=150 x-0,1 x^{2}. Encontre a função lucro e verifique qual o lucro máximo que se pode obter.
    O lucro é representado por L(x)=R(x)-C(x). Assim,
\begin{gathered} L(x)=\left(150 x-0,1 x^{2}\right)-\left(80+0,2 x^{2}\right) \\\ L(x)=-80+150 x-0,12 x^{2} \end{gathered}
Ponto de máximo em L(x)=\frac{-b}{2 a}=\frac{-150}{-0,24}=625 unidades

Passo 1

O enunciado nos dá o custo de produção de x pares de skis
C(x)=80+0,2x^{2}
e a renda obtida
R(x)=150x-0,1x^{2}.
Pede-se a função lucro e o valor máximo desse lucro. O conteúdo aqui é manipular funções quadráticas e usar a fórmula do vértice de uma parábola para encontrar o ponto de máximo de uma função do segundo grau.

Passo 2

Definimos lucro como
L(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as expressões de R(x) e C(x):
L(x)=\bigl(150x-0,1x^{2}\bigr)-\bigl(80+0,2x^{2}\bigr)
L(x)=-80+150x-\bigl(0,1+0,2\bigr)x^{2}
L(x)=-80+150x-0,3x^{2}.

Passo 3

Reconhecendo que L(x) é uma função quadrática da forma
L(x)=ax^{2}+bx+c
onde
a=-0,3,\quad b=150,\quad c=-80,
o ponto de máximo (vértice) ocorre em
x^{*}=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2\cdot(-0,3)}=-\frac{150}{-0,6}=250.

Passo 4

Para calcular o lucro máximo, avaliamos L(x) em x=250:
L(250)=-80+150\cdot250-0,3\cdot250^{2}.
Calculando passo a passo:
150\cdot250=37500,
250^{2}=62500\quad\Longrightarrow\quad0,3\cdot62500=18750,
L(250)=-80+37500-18750=37500-18830=18670.

Resposta

A função lucro é
L(x)=-0,3x^{2}+150x-80,
e o lucro máximo é \,18670, obtido quando se produzem 250 pares de skis.

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