1. É usual para economistas desenvolverem suas equações de demandas com relações lineares. A equação de demanda pode ser da forma y=a x+b, \quad a<0 (quando o preço y cresce, a demanda pela mercadoria x irá cair). Uma equação também linear y=c x+d, \quad c>0, representa o efeito contrário ( a alta do preço y irá aumentar a oferta da mercadoria x ). Neste contexto, um produtor de capas de chuva estabeleceu para seu produto a equação de demanda y=-\frac{5}{3} x+\frac{230}{3}, e a equação de produção de y=\frac{2}{3} x+\frac{55}{3} na qual x é o número de capas de chuva em centenas e y é o preço por capa.
    (a)O que representa a intersecção entre as duas curvas?
    (b)Encontre a quantidade e o preço de equilíbrio.
    (a) A intersecção dessas duas curvas, onde demanda é igual a oferta, representa a quantidade e preço de equilibrio.
    (b) Interceptando as duas retas temos:
-\frac{5}{3} x+\frac{230}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{55}{3} \Longrightarrow x=25
Consequentemente, y=\frac{2}{3} 25+\frac{55}{3}=35.
As coordenadas do ponto de equilibrio são x=25 e y=35. Assim, quando 2500 capas de chuva são oferecidas por um preço de 35 reais cada, a oferta e demanda pelo produto são iguais.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções lineares que relacionam o preço por capa de chuva y e a quantidade em centenas x:
demanda:
y=-\frac{5}{3}x+\frac{230}{3}
oferta:
y=\frac{2}{3}x+\frac{55}{3}
O conteúdo aqui é resolver um sistema de duas retas para encontrar o ponto de equilíbrio, que é onde a oferta iguala a demanda.

Passo 2

Para achar o ponto de intersecção, igualamos as duas expressões de y:
-\frac{5}{3}x+\frac{230}{3}=\frac{2}{3}x+\frac{55}{3}
Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar os denominadores:
-5x+230=2x+55

Passo 3

Reagrupando termos em x e em constantes:
-5x-2x=55-230
-7x=-175
Logo,
x=25.

Passo 4

Com x=25, substituímos em uma das retas (por exemplo, na de oferta) para obter o preço:
y=\frac{2}{3}\cdot25+\frac{55}{3}=\frac{50+55}{3}=\frac{105}{3}=35.

Resposta

(a) A intersecção representa o ponto de equilíbrio, ou seja, a quantidade e o preço em que a oferta iguala a demanda.
(b) Quantidade de equilíbrio: x=25 (ou seja, 25\times100=2500 capas).
Preço de equilíbrio: y=35 (reais por capa).

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