Seu professor de circuitos elétricos pede para você e seus colegas que montem um circuito RLC em série,com os componentes do laboratório da UTFPR, e que descrevam a corrente i(t) que passa pelo circuito quando ligado a uma fonte de tensão constante de 30 Volts, seu grupo está na bancada com um resistor de 200 \Omega, um indutor de 37 m H e um capacitor de 8 \mu F.
Lembrando que a EDO que descreve o circuito elétrico acima em função da corrente é:
L i^{\prime \prime}+R i^{\prime}+\frac{1}{C} i=V^{\prime}(t)
L: Indutância; C: capacitância; R: resistência; V: tensão da fonte; i: Corrente

Passo 1

O enunciado pede a expressão da corrente i(t) num circuito RLC série quando a fonte de tensão é constante de 30 V, com R=200\\ \Omega, L=37\\ \mathrm{mH} e C=8\\ \mathrm{\mu F}. O conteúdo é a resolução de uma EDO linear de 2ª ordem homogênea, passando por: montar a EDO, resolver a equação característica, classificar o regime (amortecido, crítico ou oscilatório) e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Como V(t)=30 V é constante, tem-se V'(t)=0. A EDO dada
L\,i'' + R\,i' + \frac{1}{C}\,i = V'(t)
torna-se homogênea:
L\,i'' + R\,i' + \frac{1}{C}\,i = 0.

Passo 3

A equação característica associada é
L\,r^2 + R\,r + \frac{1}{C} = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
r_{1,2} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4\,\frac{L}{C}}}{2\,L}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos
R^2 - 4\frac{L}{C} = 200^2 - 4\cdot\frac{37\times10^{-3}}{8\times10^{-6}} = 21500, \quad \sqrt{21500}\approx146,97
e
r_{1} = \frac{-200 + 146,97}{2\cdot0,037}\approx -716,38\\ \mathrm{s^{-1}}, \quad r_{2} = \frac{-200 - 146,97}{2\cdot0,037}\approx -4688,0\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como r_1 e r_2 são reais e distintos negativos, o regime é superamortecido.

Passo 5

Em t=0, o capacitor está descarregado ( q(0)=0) e não há corrente inicial no indutor, logo
i(0)=0.
Antes de derivar a lei de malha, em t=0 vale
L\,i'(0)+R\,i(0)+\frac{1}{C}\int_0^0 i(\tau)\,d\tau \;=\; V(0) \;\Rightarrow\; L\,i'(0)=30 \;\Rightarrow\; i'(0)=\frac{30}{0,037}\approx810,81\\ \mathrm{A/s}.

Passo 6

A solução geral é
i(t)=A\,e^{r_1 t}+B\,e^{r_2 t}.
As condições
i(0)=A+B=0, \quad i'(0)=A\,r_1+B\,r_2=810,81
dão B=-A e
A(r_1 - r_2)=810,81 \;\Rightarrow\; A=\frac{810,81}{(-716,38)-(-4688,0)}\approx\frac{810,81}{3971,62}\approx0,2043,
B=-0,2043.

Passo 7

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
i(t)=0,2043\bigl(e^{-716,38\,t}-e^{-4688,0\,t}\bigr)\\ \mathrm{A}.

Resposta

i(t)=0,2043\bigl(e^{-716,38\,t}-e^{-4688,0\,t}\bigr) A

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