Determine a carga máxima Q_{\text {max }} acumulada no capacitor do circuito abaixo sabendo que a carga inicial Q_{o}=0 C e que a corrente que passa no circuito i(t)=\frac{d Q}{d t}=2 A :
\begin{gathered} R=10 \Omega ; L=\frac{5}{3} H ; C=\frac{1}{30} F ; V=300 V \\\ L Q^{\prime \prime}+R Q^{\prime}+\frac{1}{C} Q=V(t) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC submetido a um degrau de tensão contínua de \,300\text{ V}, cuja equação diferencial para a carga Q(t) no capacitor é
L\,Q''(t)+R\,Q'(t)+\frac{1}{C}\,Q(t)=V(t),
com L=\tfrac{5}{3}\,\text{H}, R=10\,\Omega, C=\tfrac{1}{30}\,\text{F}, V(t)=300\,\text{V}\cdot u(t). As condições iniciais são
\,Q(0)=0 e Q'(0)=i(0)=2\,\text{A}. Vamos encontrar a resposta ao degrau e determinar a primeira máxima de Q(t).

Passo 2

Calculamos a frequência natural e o amortecimento:
\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L\,C}} =\sqrt{\frac{1}{\tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{1}{30}}} =\sqrt{\frac{90}{5}} =\sqrt{18},
\alpha = \frac{R}{2\,L} =\frac{10}{2\cdot\tfrac{5}{3}} =3.
Como \alpha<\omega_0, o regime é subamortecido. A frequência de batimento é
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} =\sqrt{18-9} =3.

Passo 3

A solução geral para resposta ao degrau é
Q(t)=Q_{\infty}+e^{-\alpha t}\bigl[A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr],
onde a carga no regime estacionário é
Q_{\infty}=C\cdot V = \tfrac{1}{30}\times 300 = 10\text{ C}.

Passo 4

Impondo Q(0)=0 e Q'(0)=2:
de Q(0)=0 obtemos
0 = 10 + (A\cdot 1 + B\cdot 0) \quad\Rightarrow\quad A=-10.
Para Q'(t) calculamos
Q'(t) =e^{-\!3t}\bigl[-3(A\cos3t+B\sin3t)-3A\sin3t+3B\cos3t\bigr],
logo em t=0:
2 = Q'(0) = -3A+3B = -3(-10)+3B = 30+3B \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{28}{3}.

Passo 5

Para achar o instante da primeira máxima, resolvemos Q'(t)=0. Após simplificar, chega-se a
\tan(3t) = -\frac{1}{29},
cuja menor solução positiva é
3\,t_{\max} = \pi - \arctan\bigl(\tfrac{1}{29}\bigr) \quad\Rightarrow\quad t_{\max} = \frac{\pi - \arctan(\tfrac{1}{29})}{3}\approx1{,}036\text{ s}.

Passo 6

Substituindo t_{\max} em
Q(t)=10 + e^{-3t}\Bigl[-10\cos(3t)-\tfrac{28}{3}\sin(3t)\Bigr],
obtemos numericamente
Q_{\max}\approx10{,}432\text{ C}.

Resposta

A carga máxima no capacitor é aproximadamente 10{,}43\text{ C}.

Exercícios relacionados