Derive.
(a) f(x)=3 e^{x+1}+\frac{4}{\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3e^{x+1}+\frac{4}{\sqrt[3]{x}},
que envolve dois blocos: um exponencial e um de potência. Para o primeiro usamos a regra da derivada de e^{u(x)} (com regra da cadeia) e para o segundo a regra de potência d(x^{n})/dx = n\,x^{n-1}.

Passo 2

Derivamos 3e^{x+1}. Seja u(x)=x+1, então u'(x)=1 e
\frac{d}{dx}\bigl(3e^{x+1}\bigr) =3\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr) =3\,e^{u(x)}\cdot u'(x) =3e^{x+1}.

Passo 3

Derivamos \tfrac{4}{\sqrt[3]{x}}=4x^{-\frac13}. Aplicando a regra de potência com n=-\tfrac13:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{-\frac13}\bigr) =4\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)x^{-\frac13-1} =-\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} =-\frac{4}{3\,x^{\frac{4}{3}}}.

Resposta

f'(x)=3e^{x+1}-\frac{4}{3\,x^{\frac{4}{3}}}.

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