Professor: Dione Andrade Lara
  • Justifique todas as suas respostas
    Calcule as seguintes derivadas:
    f(x)=sen(2 x)cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} $. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada de funções racionais, especificamente aplicando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções seno e cosseno e como aplicar a Regra do Quociente passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função que vão entrar na Regra do Quociente. Temos:
  • Numerador: $ g(x) = \sin(2x) $
  • Denominador: $ h(x) = \cos(2x) $

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
A derivada de $ g(x) = \sin(2x) $ é:
g(x) = sin(2x)
Isso porque a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $, onde $ u = 2x $.
A derivada de $ h(x) = \cos(2x) $ é:
g'(x) = 2 cos(2x)
Aqui, a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) $ vezes a derivada de $ u $.

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de $ \frac{g(x)}{h(x)} $ é:
g(x)h(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)[h(x)]^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
2 cos(2x) cdot cos(2x) = 2 cos^2(2x)
- sin(2x) cdot (-2 sin(2x)) = 2 sin^2(2x)
Então, o numerador fica:
2 cos^2(2x) + 2 sin^2(2x) = 2 (cos^2(2x) + sin^2(2x))
Sabemos pela identidade trigonométrica que $ \cos^2(u) + \sin^2(u) = 1 $, então:
cos^2(u) + sin^2(u) = 1

Passo 6

Agora, o denominador é:
[cos(2x)]^2 = cos^2(2x)
Então, colocando tudo junto:
f'(x) = 2cos^2(2x)

Passo 7

Podemos escrever isso de forma mais simples usando a função secante, onde $ \sec(u) = \frac{1}{\cos(u)} $. Assim:
sec(u) = 1cos(u)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2 sec^2(2x)

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