Professor: Dione Andrade Lara
- Justifique todas as suas respostas
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} $. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada de funções racionais, especificamente aplicando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções seno e cosseno e como aplicar a Regra do Quociente passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identifique as partes da função que vão entrar na Regra do Quociente. Temos:
- Numerador: $ g(x) = \sin(2x) $
- Denominador: $ h(x) = \cos(2x) $
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
A derivada de $ g(x) = \sin(2x) $ é:
Isso porque a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $, onde $ u = 2x $.
A derivada de $ h(x) = \cos(2x) $ é:
Aqui, a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) $ vezes a derivada de $ u $.
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de $ \frac{g(x)}{h(x)} $ é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Sabemos pela identidade trigonométrica que $ \cos^2(u) + \sin^2(u) = 1 $, então:
Passo 6
Agora, o denominador é:
Então, colocando tudo junto:
Passo 7
Podemos escrever isso de forma mais simples usando a função secante, onde $ \sec(u) = \frac{1}{\cos(u)} $. Assim:
Resposta
A derivada da função é: