Professor: Dione Andrade Lara
  • Justifique todas as suas respostas
    Calcule as seguintes derivadas:
    f(x)=2^ten(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 2^{\operatorname{ten}(x)} $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções exponenciais e como aplicar a regra da cadeia. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a função $ \operatorname{ten}(x) $. Parece que aqui “ten” está sendo usada como uma função. Uma possibilidade é que $ \operatorname{ten}(x) $ represente $ \tan(x) $, que é a tangente de $ x $. Então, a função ficaria $ f(x) = 2^{\tan(x)} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função exponencial $ a^{u(x)} $ em relação a $ x $ é dada por:
a^u(x)
Aqui, $ a = 2 $ e $ u(x) = \tan(x) $.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular $ u’(x) $, que é a derivada de $ \tan(x) $. Sabemos que:
u'(x)
Então, $ u’(x) = \sec^2(x) $.

Passo 5

Agora, aplicando a regra da derivada das funções exponenciais que vimos no Passo 3, temos:
f'(x) = 2^tan(x) ln(2) cdot sec^2(x)
Isso significa que a derivada de $ f(x) = 2^{\tan(x)} $ é $ 2^{\tan(x)} $ vezes o logaritmo natural de 2 vezes $ \sec^2(x) $.

Resposta

A derivada de $ f(x) = 2^{\tan(x)} $ é:
f(x) = 2^tan(x)

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