Professor: Dione Andrade Lara
- Justifique todas as suas respostas
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 2^{\operatorname{ten}(x)} $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções exponenciais e como aplicar a regra da cadeia. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a função $ \operatorname{ten}(x) $. Parece que aqui “ten” está sendo usada como uma função. Uma possibilidade é que $ \operatorname{ten}(x) $ represente $ \tan(x) $, que é a tangente de $ x $. Então, a função ficaria $ f(x) = 2^{\tan(x)} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função exponencial $ a^{u(x)} $ em relação a $ x $ é dada por:
Aqui, $ a = 2 $ e $ u(x) = \tan(x) $.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular $ u’(x) $, que é a derivada de $ \tan(x) $. Sabemos que:
Então, $ u’(x) = \sec^2(x) $.
Passo 5
Agora, aplicando a regra da derivada das funções exponenciais que vimos no Passo 3, temos:
Isso significa que a derivada de $ f(x) = 2^{\tan(x)} $ é $ 2^{\tan(x)} $ vezes o logaritmo natural de 2 vezes $ \sec^2(x) $.
Resposta
A derivada de $ f(x) = 2^{\tan(x)} $ é: