Professor: Dione Andrade Lara
  • Justifique todas as suas respostas
    Calcule d yd x por derivaçio implicita da expressāo tg(x-y)=3 raizx.

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular dydx usando derivação implícita da equação tan(x - y) = 3raizx. Isso pertence ao ramo do Cálculo, especificamente em derivadas e regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar a derivada da função tangente e a derivação implícita, que nos permite encontrar a derivada de y em relação a x mesmo quando y está em uma equação com x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x:
ddx[tan(x - y)] = ddx[3raizx]

Passo 3

Agora, vamos derivar cada lado:
  1. Derivando tan(x - y):
    A derivada da tangente é sec^2(u) multiplicada pela derivada de u, onde u = x - y. Então:
    ddx[tan(x - y)] = sec^2(x - y) cdot ddx(x - y)
    E derivando x - y:
    ddx(x - y) = 1 - dydx
    Portanto:
    ddx[tan(x - y)] = sec^2(x - y) cdot (1 - dydx)
  2. Derivando 3raizx:
    Escrevendo raizx como x^1/2, temos:
    ddx[3x^1/2] = 3 cdot 12x^-1/2 = 32raizx

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
sec^2(x - y) cdot (1 - dydx) = 32raizx
Nosso objetivo é encontrar dydx, então vamos isolar esse termo.

Passo 5

Primeiro, dividimos ambos os lados por sec^2(x - y):
1 - dydx = 32raizx cdot sec^2(x - y)
Agora, isolando dydx:
dydx = 1 - 32raizx cdot sec^2(x - y)

Resposta

A derivada dydx é:
dydx = 1 - 32raizx cdot sec^2(x - y)

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