Professor: Dione Andrade Lara
- Justifique todas as suas respostas
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} \cdot \operatorname{arclg}(3x) $. Estamos trabalhando com derivadas, um conteúdo básico de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, a derivada de $ f(x) $ é:
Aplicando isso à nossa função, onde $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \operatorname{arclg}(3x) $, precisamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ u(x) = x^{3} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \operatorname{arclg}(3x) $. Primeiro, precisamos entender o que é
. Supondo que
seja o logaritmo de base 10, ou seja, $ \log_{10} $, usamos a regra da cadeia.
A derivada de $ \log_{10}(u) $ é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde $ u = 3x $:
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Resposta
A derivada da função é: