Professor: Dione Andrade Lara
  • Justifique todas as suas respostas
    Calcule as seguintes derivadas:
    f(x)=x^3 cdot arclg(3 x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} \cdot \operatorname{arclg}(3x) $. Estamos trabalhando com derivadas, um conteúdo básico de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x) = u(x) cdot v(x)
Aplicando isso à nossa função, onde $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \operatorname{arclg}(3x) $, precisamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ u(x) = x^{3} $:
u(x) = x^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \operatorname{arclg}(3x) $. Primeiro, precisamos entender o que é v(x) = arclg(3x) . Supondo que arclg seja o logaritmo de base 10, ou seja, $ \log_{10} $, usamos a regra da cadeia.
A derivada de $ \log_{10}(u) $ é:
arclg
Aplicando isso ao nosso caso, onde $ u = 3x $:
log10

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, podemos aplicar a regra do produto:
u'(x)
Substituindo:
v'(x)
Simplificando o segundo termo:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3x^2 cdot log10(3x) + x^2ln 10

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