Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 \mathrm{~kg} em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a 3,0 \mathrm{kgm}^{2} quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para 2,2 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de I,Om do eixo e a uma distância final de \mathbf{0 , 2 0 m} do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
(b) As energias cinética inicial e final do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um professor girando num eixo vertical com período T=2,0\\ \mathrm{s}, segurando dois halteres de massa m=5,0\\ \mathrm{kg} cada um. Quando os braços estão estendidos, o momento de inércia do professor é I_{\rm prof,i}=3,0\\ \mathrm{kg\,m^2}; ao aproximar os halteres, passa a ser I_{\rm prof,f}=2,2\\ \mathrm{kg\,m^2}. Os halteres estão inicialmente a r_i=1,0\\ \mathrm{m} do eixo e acabam a r_f=0,20\\ \mathrm{m}. Vamos usar cálculo de momento de inércia de partículas, conservação do momento angular \bigl(I\omega\bigr) e energia cinética rotacional K=\tfrac12I\omega^2.

Passo 2

Calcular os momentos de inércia dos halteres e as quantidades iniciais e finais totais, além de \omega_i.
I_{\text{halteres,i}} = 2\,m\,r_i^2 = 2\cdot5,0\cdot(1,0)^2 = 10,0\\ \mathrm{kg\,m^2}
I_i = I_{\rm prof,i} + I_{\text{halteres,i}} = 3,0 + 10,0 = 13,0\\ \mathrm{kg\,m^2}
I_{\text{halteres,f}} = 2\,m\,r_f^2 = 2\cdot5,0\cdot(0,20)^2 = 0,40\\ \mathrm{kg\,m^2}
I_f = I_{\rm prof,f} + I_{\text{halteres,f}} = 2,2 + 0,40 = 2,6\\ \mathrm{kg\,m^2}
\omega_i = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,0} = \pi\\ \mathrm{rad/s}

Passo 3

Aplicar conservação do momento angular:
I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f \quad\Longrightarrow\quad \omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_i = \frac{13,0}{2,6}\,\pi = 5\,\pi\\ \mathrm{rad/s}

Passo 4

Calcular as energias cinéticas inicial e final:
K_i = \tfrac12\,I_i\,\omega_i^2 = \tfrac12\cdot13,0\cdot(\pi)^2 = 6,5\,\pi^2\\ \mathrm{J}\approx64,2\\ \mathrm{J}
K_f = \tfrac12\,I_f\,\omega_f^2 = \tfrac12\cdot2,6\cdot(5\pi)^2 = 1,3\cdot25\,\pi^2 = 32,5\,\pi^2\\ \mathrm{J}\approx320,7\\ \mathrm{J}

Resposta

(a) \omega_f = 5\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx15,7\\ \mathrm{rad/s}.
(b) K_i = 6,5\pi^2\\ \mathrm{J}\approx64,2\\ \mathrm{J},\quad K_f = 32,5\pi^2\\ \mathrm{J}\approx320,7\\ \mathrm{J}.

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