Uma professora tem uma turma de 30 estudantes e deseja realizar um trabalho em grupos de cinco. Ela pretende realizar um sorteio aleatório para definir a composição de cada grupo. O espaço amostral é formado por todos os possíveis grupos de cinco estudantes. Sabendo que há na sala uma única aluna chamada Ana, uma chamada Bruna e também uma chamada Carla.
Determine a probabilidade de que Ana e Bruna fiquem no mesmo grupo
(a)
(b)
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(d)
(e)
Determine a probabilidade de que Ana e Bruna fiquem no mesmo grupo
(a)
(b)
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(d)
(e)
Passo 1
Vamos lá! A professora tem 30 estudantes e quer formar grupos de cinco de forma aleatória. Na turma, temos a Ana, a Bruna e a Carla. A questão é descobrir qual a probabilidade de Ana e Bruna acabarem no mesmo grupo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que nos ajudam a calcular as chances de eventos específicos acontecerem quando estamos lidando com grupos e escolhas.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quantas formas diferentes a professora pode formar um grupo de cinco estudantes a partir dos 30 disponíveis. Isso é calculado usando a combinação, que representa as maneiras de escolher itens sem se preocupar com a ordem. A fórmula da combinação é:
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
Aplicando isso:
Então, existem 142.506 maneiras diferentes de formar um grupo de cinco estudantes.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas combinações incluem tanto a Ana quanto a Bruna. Se queremos que Ana e Bruna estejam no mesmo grupo, já temos 2 membros fixos. Restam então 3 vagas para serem preenchidas pelos outros 28 estudantes (já que temos 30 no total e já escolhemos 2).
Usamos novamente a combinação:
Portanto, existem 3.276 maneiras de formar um grupo que inclui Ana e Bruna.
Passo 4
A probabilidade de Ana e Bruna estarem no mesmo grupo é a razão entre o número de grupos que as incluem e o número total de grupos possíveis. Assim:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 2,3%.
Resposta
A probabilidade de que Ana e Bruna fiquem no mesmo grupo é de 2,3%. Alternativa (b).