Uma professora tem uma turma de 30 estudantes e deseja realizar um trabalho em grupos de cinco. Ela pretende realizar um sorteio aleatório para definir a composição de cada grupo. O espaço amostral é formado por todos os possíveis grupos de cinco estudantes. Sabendo que há na sala uma única aluna chamada Ana, uma chamada Bruna e também uma chamada Carla.
Determine a probabilidade de que pelo menos duas destas três meninas fiquem no mesmo grupo
(a) 1,5 %
(b) 2,3 %
© 16,67 %
(d) 0,02 %
(e) 6,4 %

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A professora tem 30 estudantes e quer fazer grupos de 5 de forma aleatória. A gente precisa descobrir qual é a chance de pelo menos duas das três meninas específicas (Ana, Bruna e Carla) acabarem no mesmo grupo. Para isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos grupos diferentes de 5 estudantes podemos formar com 30 alunos. Isso é calculado usando combinações, que representam o número de maneiras de escolher 5 alunos sem se importar com a ordem. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde:
  • n = 30 (total de alunos)
  • k = 5 (tamanho do grupo)
Então:
C(30, 5) = 30!5!(30-5)! = 142506

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de pelo menos duas das três meninas estarem no mesmo grupo. É mais fácil calcular o complemento disso, ou seja, a probabilidade de nenhuma ou apenas uma das meninas estarem no grupo, e depois subtrair esse valor de 1 (ou 100%).

Passo 4

Vamos calcular duas situações:
  1. Nenhuma das três meninas está no grupo:
    • Isso significa que estamos escolhendo 5 alunos entre os 27 que não são Ana, Bruna ou Carla.
    • Então:
    C(27, 5) = 27!5!(27-5)! = 80730
  2. Apenas uma das três meninas está no grupo:
    • Primeiro, escolhemos qual das três meninas estará no grupo: 3 maneiras.
    • Depois, escolhemos as outras 4 pessoas entre os 27 que não são as meninas.
    • Então:
    3 times C(27, 4) = 3 times 27!4!(27-4)! = 3 times 17550 = 52650

Passo 5

Somando as duas situações acima, temos o número total de grupos onde menos de duas meninas estão presentes:
80730 + 52650 = 133380

Passo 6

Agora, para encontrar o número de grupos onde pelo menos duas meninas estão presentes, subtraímos esse valor do total de grupos possíveis:
142506 - 133380 = 9126

Passo 7

Finalmente, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de grupos favoráveis pelo total de grupos e multiplicamos por 100 para obter a porcentagem:
9126142506 times 100 approx 6,4%

Resposta

A probabilidade de que pelo menos duas das três meninas fiquem no mesmo grupo é 6,4 %.

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