Uma professora tem uma turma de 30 estudantes e deseja realizar um trabalho em grupos de cinco. Ela pretende realizar um sorteio aleatório para definir a composição de cada grupo. O espaço amostral é formado por todos os possíveis grupos de cinco estudantes. Sabendo que há na sala uma única aluna chamada Ana, uma chamada Bruna e também uma chamada Carla.
Determine a probabilidade de que pelo menos duas destas três meninas fiquem no mesmo grupo
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine a probabilidade de que pelo menos duas destas três meninas fiquem no mesmo grupo
(a)
(b)
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(d)
(e)
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A professora tem 30 estudantes e quer fazer grupos de 5 de forma aleatória. A gente precisa descobrir qual é a chance de pelo menos duas das três meninas específicas (Ana, Bruna e Carla) acabarem no mesmo grupo. Para isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos grupos diferentes de 5 estudantes podemos formar com 30 alunos. Isso é calculado usando combinações, que representam o número de maneiras de escolher 5 alunos sem se importar com a ordem. A fórmula para combinações é:
Onde:
-
(total de alunos) -
(tamanho do grupo)
Então:
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de pelo menos duas das três meninas estarem no mesmo grupo. É mais fácil calcular o complemento disso, ou seja, a probabilidade de nenhuma ou apenas uma das meninas estarem no grupo, e depois subtrair esse valor de 1 (ou 100%).
Passo 4
Vamos calcular duas situações:
-
Nenhuma das três meninas está no grupo:
- Isso significa que estamos escolhendo 5 alunos entre os 27 que não são Ana, Bruna ou Carla.
- Então:
-
Apenas uma das três meninas está no grupo:
- Primeiro, escolhemos qual das três meninas estará no grupo: 3 maneiras.
- Depois, escolhemos as outras 4 pessoas entre os 27 que não são as meninas.
- Então:
Passo 5
Somando as duas situações acima, temos o número total de grupos onde menos de duas meninas estão presentes:
Passo 6
Agora, para encontrar o número de grupos onde pelo menos duas meninas estão presentes, subtraímos esse valor do total de grupos possíveis:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de grupos favoráveis pelo total de grupos e multiplicamos por 100 para obter a porcentagem:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos duas das três meninas fiquem no mesmo grupo é 6,4 %.