Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos (
e C). Os analistas da empresa consideram que há
de chance do projeto A ser aprovado,
de chance do projeto B ser aprovado,
de chance de serem aprovados os projetos A e B,
de chance de aprovarem os projetos A e C,
de chance de aprovarem os projetos B e Ce e
de chance de que os 3 projetos sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que a probabilidade de haver um e exatamente um projeto aprovado é de
. Responda ao que se pede:
Determine a probabilidade de que pelo menos um dos três projetos seja aprovado:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine a probabilidade de que pelo menos um dos três projetos seja aprovado:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três projetos (A, B e C) e várias probabilidades de cada um ser aprovado, além de algumas combinações de aprovações. O conteúdo aqui é de Teoria das Probabilidades, e para resolver vamos precisar usar conceitos de probabilidade conjunta e princípios de inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as informações que temos:
- Probabilidade de A ser aprovado: $ P(A) = 40% $
- Probabilidade de B ser aprovado: $ P(B) = 60% $
- Probabilidade de A e B serem aprovados juntos: $ P(A \cap B) = 24% $
- Probabilidade de A e C serem aprovados juntos: $ P(A \cap C) = 12% $
- Probabilidade de B e C serem aprovados juntos: $ P(B \cap C) = 22% $
- Probabilidade de A, B e C serem aprovados juntos: $ P(A \cap B \cap C) = 6% $
- Probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado: $ 44% $
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos um dos três projetos ser aprovado. Matematicamente, isso é representado por $ P(A \cup B \cup C) $.
Passo 4
Para calcular $ P(A \cup B \cup C) $, podemos usar a seguinte fórmula do princípio de inclusão-exclusão:
No entanto, não sabemos $ P© $ diretamente. Mas podemos resolver isso usando as informações de exatamente um projeto aprovado.
Passo 5
Sabemos que a probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado é $ 44% $. Vamos calcular essa probabilidade usando as probabilidades individuais e as conjuntas:
Substituindo os valores que temos:
Resolvendo isso para $ P© $.
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
Passo 7
Agora que temos $ P© = 42% $, podemos usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar $ P(A \cup B \cup C) $:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos um dos três projetos seja aprovado é de 90%, ou seja, a alternativa © 90%.