Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos ( A, B e C). Os analistas da empresa consideram que há 40 % de chance do projeto A ser aprovado, 60 % de chance do projeto B ser aprovado, 24 % de chance de serem aprovados os projetos A e B, 12 % de chance de aprovarem os projetos A e C, 22 % de chance de aprovarem os projetos B e Ce e 6 % de chance de que os 3 projetos sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que a probabilidade de haver um e exatamente um projeto aprovado é de 44 %. Responda ao que se pede:
Determine a probabilidade de que pelo menos um dos três projetos seja aprovado:
(a) 76 %
(b) 85 %
© 90 %
(d) 94 %
(e) 100 %

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três projetos (A, B e C) e várias probabilidades de cada um ser aprovado, além de algumas combinações de aprovações. O conteúdo aqui é de Teoria das Probabilidades, e para resolver vamos precisar usar conceitos de probabilidade conjunta e princípios de inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as informações que temos:
  • Probabilidade de A ser aprovado: $ P(A) = 40% $
  • Probabilidade de B ser aprovado: $ P(B) = 60% $
  • Probabilidade de A e B serem aprovados juntos: $ P(A \cap B) = 24% $
  • Probabilidade de A e C serem aprovados juntos: $ P(A \cap C) = 12% $
  • Probabilidade de B e C serem aprovados juntos: $ P(B \cap C) = 22% $
  • Probabilidade de A, B e C serem aprovados juntos: $ P(A \cap B \cap C) = 6% $
  • Probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado: $ 44% $

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos um dos três projetos ser aprovado. Matematicamente, isso é representado por $ P(A \cup B \cup C) $.

Passo 4

Para calcular $ P(A \cup B \cup C) $, podemos usar a seguinte fórmula do princípio de inclusão-exclusão:
P(A cup B cup C)
No entanto, não sabemos $ P© $ diretamente. Mas podemos resolver isso usando as informações de exatamente um projeto aprovado.

Passo 5

Sabemos que a probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado é $ 44% $. Vamos calcular essa probabilidade usando as probabilidades individuais e as conjuntas:
44%
Substituindo os valores que temos:
P(exatamente um) = P(A) + P(B) + P(C) - 2[P(A cap B) + P(A cap C) + P(B cap C)] + 3P(A cap B cap C)
Resolvendo isso para $ P© $.

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
44% = 100% + P(C) - 2(58%) + 18%
44% = 100% + P(C) - 116% + 18%
44% = P(C) + 2%
P(C) = 44% - 2% = 42%

Passo 7

Agora que temos $ P© = 42% $, podemos usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar $ P(A \cup B \cup C) $:
P(C) = 42%
Calculando:
P(A cup B cup C)

Resposta

A probabilidade de que pelo menos um dos três projetos seja aprovado é de 90%, ou seja, a alternativa © 90%.

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