(PROFMAT, 2017) Se x e y são dois números reais tais que
4 x^{2}+9 y^{2}-4 x+12 y+5=0
então x+y e igual a
(A) \frac{5}{6}.
(B) -\frac{1}{3}.
(C) \frac{1}{2}.
(D) -\frac{1}{6}.
(E) \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y:
4x^{2}+9y^{2}-4x+12y+5=0.
A pergunta é: qual é o valor de x+y? As alternativas fornecidas são:
(A) \dfrac{5}{6}.
(B) -\dfrac{1}{3}.
(C) \dfrac{1}{2}.
(D) -\dfrac{1}{6}.
(E) \dfrac{1}{3}.

Passo 2

Vamos tornar a expressão mais manejável completando quadrados (não se assuste: é um truque padrão para tratar quadráticas). Primeiro, agrupamos termos em x e em y e colocamos os fatores 4 e 9 dentro dos parênteses:
4x^{2}-4x+9y^{2}+12y+5=0
\Longleftrightarrow\quad 4\bigl(x^{2}-x\bigr)+9\bigl(y^{2}+\tfrac{4}{3}y\bigr)+5=0.

Passo 3

Recordando a identidade de completar quadrado: para qualquer constante b,
x^{2}+b x=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aplicando essa fórmula a x^{2}-x (aqui b=-1) e a y^{2}+\tfrac{4}{3}y (aqui b=\tfrac{4}{3}):
Para x:
x^{2}-x=\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Para y:
y^{2}+\tfrac{4}{3}y=\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}.
Substituindo na expressão original e multiplicando pelos fatores 4 e 9:
4\Bigl[\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr]+9\Bigl[\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr]+5=0.

Passo 4

Agora desenvolvemos os termos constantes:
4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-4\cdot\tfrac{1}{4}+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-9\cdot\tfrac{4}{9}+5=0,
4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-1+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-4+5=0,
os constantes somam -1-4+5=0, portanto resta
4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=0.
Cada termo ao lado esquerdo é um múltiplo positivo de um quadrado real, logo cada termo é \ge 0. A soma de quantidades não-negativas só pode ser zero se cada uma delas for zero. Assim
x-\tfrac{1}{2}=0\quad\text{e}\quad y+\tfrac{2}{3}=0.
Portanto
x=\tfrac{1}{2},\qquad y=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Calculamos x+y:
x+y=\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{3-4}{6}=-\tfrac{1}{6}.
Entre as alternativas, isso corresponde à opção (D).

Resposta

(D) -\dfrac{1}{6}

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