(PROFMAT, 2017) Se
e
são dois números reais tais que
então
e igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
A pergunta é: qual é o valor de
? As alternativas fornecidas são:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 2
Vamos tornar a expressão mais manejável completando quadrados (não se assuste: é um truque padrão para tratar quadráticas). Primeiro, agrupamos termos em
e em
e colocamos os fatores 4 e 9 dentro dos parênteses:
Passo 3
Recordando a identidade de completar quadrado: para qualquer constante
,
Aplicando essa fórmula a
(aqui
) e a
(aqui
):
Para
:
Para
:
Substituindo na expressão original e multiplicando pelos fatores
e
:
Passo 4
Agora desenvolvemos os termos constantes:
os constantes somam
, portanto resta
Cada termo ao lado esquerdo é um múltiplo positivo de um quadrado real, logo cada termo é
. A soma de quantidades não-negativas só pode ser zero se cada uma delas for zero. Assim
Portanto
Passo 5
Calculamos
:
Entre as alternativas, isso corresponde à opção (D).
Resposta
(D)