(PROFMAT, 2021) Qual das opções abaixo é igual ao número
(A)
.
(B) -1 .
(C) 1 .
(D)
.
(E) 2 .
(B) -1 .
(C) 1 .
(D)
(E) 2 .
Passo 1
O enunciado dá o número
e pede para decidir qual das opções abaixo é igual a esse número:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
(que é o mesmo que ). - Preciso simplificar essa expressão e identificar qual das alternativas corresponde ao valor obtido.
Passo 2
Primeiro simplifico o termo dentro da raiz do numerador, tirando um fator comum:
Então a expressão original vira
Aqui apenas fatorizei
de dentro da raiz: para lembrar,
.
Passo 3
Agora vamos reescrever
como diferença entre duas raízes quadradas simples, porque isso costuma facilitar operações com conjugados. Procuro
e
positivos tais que
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Comparando as partes “racionais” e as partes que envolvem raiz, obtemos o sistema
Da segunda equação vem
, então
. Assim
e
são raízes do polinômio
Calculando as raízes:
ou seja
. Portanto podemos escolher
e
.
Passo 4
Com
e
temos
Substituindo isso no numerador
:
Assim a expressão fica
Passo 5
Para simplificar a divisão por
, multiplico numerador e denominador pelo conjugado
(essa é a técnica de racionalizar denominador; o produto
):
Passo 6
Distribuo no numerador:
Calculo cada termo:
, e
. Assim
Dividindo por
(o denominador) temos
Passo 7
Conferindo o sinal: todas as raízes quadradas tomadas aqui são as principais (não negativas), e
, então o resultado
é coerente (positivo). Portanto a expressão original é igual a
.
Resposta
(D)