(PROFMAT, 2021) Qual das opções abaixo é igual ao número
\frac{\sqrt{8-4 \sqrt{3}}}{-1+\sqrt{3}} ?
(A) -\sqrt{2}.
(B) -1 .
(C) 1 .
(D) \sqrt{2}.
(E) 2 .

Passo 1

O enunciado dá o número
\frac{\sqrt{8-4 \sqrt{3}}}{-1+\sqrt{3}}
e pede para decidir qual das opções abaixo é igual a esse número:
(A) -\sqrt{2}.
(B) -1.
(C) 1.
(D) \sqrt{2}.
(E) 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \sqrt{8-4\sqrt{3}}.
  • O denominador é -1+\sqrt{3} (que é o mesmo que \sqrt{3}-1).
  • Preciso simplificar essa expressão e identificar qual das alternativas corresponde ao valor obtido.

Passo 2

Primeiro simplifico o termo dentro da raiz do numerador, tirando um fator comum:
\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{4\bigl(2-\sqrt{3}\bigr)}=2\sqrt{2-\sqrt{3}}.
Então a expressão original vira
\frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1}.
Aqui apenas fatorizei 4 de dentro da raiz: para lembrar, \sqrt{4x}=2\sqrt{x}.

Passo 3

Agora vamos reescrever \sqrt{2-\sqrt{3}} como diferença entre duas raízes quadradas simples, porque isso costuma facilitar operações com conjugados. Procuro p e q positivos tais que
\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{p}-\sqrt{q}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
2-\sqrt{3}=p+q-2\sqrt{pq}.
Comparando as partes “racionais” e as partes que envolvem raiz, obtemos o sistema
p+q=2, \qquad 2\sqrt{pq}=\sqrt{3}.
Da segunda equação vem \sqrt{pq}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então pq=\dfrac{3}{4}. Assim p e q são raízes do polinômio
t^{2}-2t+\frac{3}{4}=0.
Calculando as raízes:
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot\frac{3}{4}=4-3=1,
t=\frac{2\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2\pm1}{2},
ou seja t\in\{\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\}. Portanto podemos escolher p=\tfrac{3}{2} e q=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Com p=\tfrac{3}{2} e q=\tfrac{1}{2} temos
\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.
Substituindo isso no numerador 2\sqrt{2-\sqrt{3}}:
2\sqrt{2-\sqrt{3}}=2\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}.
Assim a expressão fica
\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}.

Passo 5

Para simplificar a divisão por \sqrt{3}-1, multiplico numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3}+1 (essa é a técnica de racionalizar denominador; o produto (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2):
\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} =\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{2}.

Passo 6

Distribuo no numerador:
(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)=\sqrt{6}\,\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}-\sqrt{2}.
Calculo cada termo: \sqrt{6}\,\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}, e \sqrt{2}\,\sqrt{3}=\sqrt{6}. Assim
(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)=3\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Dividindo por 2 (o denominador) temos
\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Passo 7

Conferindo o sinal: todas as raízes quadradas tomadas aqui são as principais (não negativas), e \sqrt{3}-1>0, então o resultado \sqrt{2} é coerente (positivo). Portanto a expressão original é igual a \sqrt{2}.

Resposta

(D) \sqrt{2}

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