(PROFMAT, 2019) Que número inteiro pode ser escrito como
\sqrt{19+6 \sqrt{10}}-\sqrt{19-6 \sqrt{10}} ?
(A) 3 .
(B) 4 .
(C) 5 .
(D) 6 .
(E) 7 .

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\sqrt{19+6\sqrt{10}}-\sqrt{19-6\sqrt{10}}
e pede qual número inteiro ela representa. Não há outras condições ocultas: basta calcular esse valor numérico e comparar com as opções fornecidas.

Passo 2

Para organizar a conta, introduzo duas quantidades mais simples:
u=\sqrt{19+6\sqrt{10}},\qquad v=\sqrt{19-6\sqrt{10}}.
Assim a expressão que queremos é u-v.

Passo 3

Calculo primeiro os quadrados de u e v, que são simplesmente os radicandos:
u^2=19+6\sqrt{10},\qquad v^2=19-6\sqrt{10}.
Somando-os fica mais simples:
u^2+v^2=(19+6\sqrt{10})+(19-6\sqrt{10})=38.

Passo 4

Agora preciso do produto uv. Uso que o produto das raízes é a raiz do produto dos radicandos:
uv=\sqrt{(19+6\sqrt{10})(19-6\sqrt{10})}.
Reconheço aí uma diferença de quadrados nos fatores dentro da raiz:
(19+6\sqrt{10})(19-6\sqrt{10})=19^2-(6\sqrt{10})^2=361-36\cdot 10=361-360=1.
Portanto
uv=\sqrt{1}=1.

Passo 5

Seja agora
x=u-v.
Quero achar x. Eleva-se ao quadrado para eliminar as raízes:
x^2=(u-v)^2=u^2+v^2-2uv.
Substituindo os valores que já calculei:
x^2=38-2\cdot 1=36.

Passo 6

Encontramos x^2=36. Note que u=\sqrt{19+6\sqrt{10}} é maior que v=\sqrt{19-6\sqrt{10}} (pois 6\sqrt{10}>0), logo x=u-v é positivo. Assim x é a raiz quadrada positiva de 36.

Resposta

6

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