(ProfSM) Considere a reação entre o permanganato de potássio e o oxalato de ferro(II) em meio sulfúrico:
\begin{gathered} \mathrm{KMnO}_{4}+\mathrm{FeC}_{2} \mathrm{O}_{4}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} \rightarrow \\\ \rightarrow \mathrm{~K}_{2} \mathrm{SO}_{4}+\mathrm{MnSO}_{4}+\mathrm{Fe}_{2}\left(\mathrm{SO}_{4}\right)_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+\mathrm{CO}_{2} \end{gathered}
A soma dos menores coeficientes inteiros que tornam a equação balanceada é:

Passo 1

O enunciado pede para balancear a reação
\mathrm{KMnO}_{4} + \mathrm{FeC}_{2}\mathrm{O}_{4} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} \rightarrow \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} + \mathrm{MnSO}_{4} + \mathrm{Fe}_{2}(\mathrm{SO}_{4})_{3} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} + \mathrm{CO}_{2}
usando coeficientes inteiros mínimos. Isso envolve contagem de átomos de cada elemento (K, Mn, Fe, C, S, H, O) e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Atribuímos coeficientes genéricos:
a\,\mathrm{KMnO}_{4} + b\,\mathrm{FeC}_{2}\mathrm{O}_{4} + c\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} \;\longrightarrow\; d\,\mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} + e\,\mathrm{MnSO}_{4} + f\,\mathrm{Fe}_{2}(\mathrm{SO}_{4})_{3} + g\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O} + h\,\mathrm{CO}_{2}.
Balanceando elemento a elemento:
Para o potássio (K):
a = 2d.
Para o manganês (Mn):
a = e.
Para o ferro (Fe):
b = 2f.
Para o carbono (C):
2b = h.

Passo 3

Para o enxofre (S) usamos que cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 1 átomo de S e produtos têm 1 em \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4}, 1 em \mathrm{MnSO}_{4} e 3 em \mathrm{Fe}_{2}(\mathrm{SO}_{4})_{3}:
c = d + e + 3f.
Para o hidrogênio (H):
2c = 2g \quad\Longrightarrow\quad g = c.

Passo 4

Para o oxigênio (O) somamos todos os oxigênios:
Lado esquerdo: 4a + 4b + 4c.
Lado direito:
4d + 4e + 12f + g + 2h.
Igualando e substituindo d=\tfrac a2, e=a, f=\tfrac b2, g=c, h=2b, obtemos
4a + 4b + 4c = 4\Bigl(\tfrac a2\Bigr) + 4a + 12\Bigl(\tfrac b2\Bigr) + c + 2(2b) \;\Longrightarrow\; 4a + 4b + 4c = 6a + 10b + c.
Rearranjando e usando c = d+e+3f dá um sistema que leva a relações lineares entre a e b.

Passo 5

Resolvendo as equações simultâneas vemos que a menor solução inteira (sem fator comum) é
a=6,\quad b=10,\quad c=24,\quad d=3,\quad e=6,\quad f=5,\quad g=24,\quad h=20.
Ou seja, a reação balanceada é
6\,\mathrm{KMnO}_{4} + 10\,\mathrm{FeC}_{2}\mathrm{O}_{4} + 24\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} \;\longrightarrow\; 3\,\mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} + 6\,\mathrm{MnSO}_{4} + 5\,\mathrm{Fe}_{2}(\mathrm{SO}_{4})_{3} + 24\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O} + 20\,\mathrm{CO}_{2}.

Passo 6

A soma dos menores coeficientes inteiros é
6 + 10 + 24 + 3 + 6 + 5 + 24 + 20 = 98.

Resposta

98

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