Deseja-se verificar se
das peças produzidas apresentam falhas menores de acabamento. Em uma amostra de 100 peças, 28 apresentaram falha. Teste a hipótese a
de significância.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, a um nível de significância de
, se a proporção de peças com falha de acabamento é de
. Informações dadas e o que se pede:
- Tamanho da amostra:
. - Número de peças com falha na amostra:
. - Proporção amostral observada:
. - Proporção indicada no enunciado (hipótese a verificar):
. - Nível de significância:
.
Pergunta clara: com esses dados, podemos rejeitar a hipótese de que a proporção verdadeira éao nível de ?
Passo 2
Formulamos as hipóteses (escolhi teste bilateral porque o enunciado diz “verificar se
” — isto geralmente corresponde a confrontar igualdade contra diferença):
Aqui
é a proporção verdadeira de peças com falha na população. O objetivo é verificar se a evidência da amostra contrapõe
.
Passo 3
Escolha do teste e condições de aplicação:
- Usamos o teste-z para proporção (aproximação normal à distribuição binomial), cuja estatística é baseada na distribuição normal padrão.
- Condição para usar a aproximação normal:
e . Verifico:
Portanto a aproximação é adequada.
Passo 4
Apresento a fórmula da estatística de teste e explico cada termo:
onde:
-
é a proporção observada na amostra ( ); -
é a proporção sob (aqui ); -
é o tamanho da amostra; - o denominador
é o erro padrão da proporção sob .
Passo 5
Calculo a proporção amostral
:
Passo 6
Calculo o erro padrão passo a passo:
Passo 7
Calculo a estatística
:
Passo 8
Decisão pelo critério clássico (região crítica):
- Como o teste é bilateral e
, o nível em cada cauda é . - O valor crítico da normal padrão é
. - Regra: rejeitar
se .
Comparo:. Logo não rejeitamos .
Passo 9
Cálculo do p-valor (para interpretação numérica):
- p-valor bilateral =
. - Usando a tabela da normal padrão ou calculadora,
. - Assim p-valor
.
Como p-valoré muito maior que , concluímos que a evidência contra é fraca.
Passo 10
Interpretação em linguagem simples e incentivo:
- A amostra de
peças com defeituosas não fornece evidência suficiente para afirmar que a proporção real difere de ao nível de significância . - Em outras palavras: a pequena diferença observada (
vs ) pode ser simplesmente variação amostral. - Força moral: é normal ficar inseguro — aqui os números mostram que não há sinal forte de diferença; se quiser maior sensibilidade, aumente
na próxima amostra.
Resposta
Não rejeitar
ao nível de significância
.
p-valor .
p-valor