Deseja-se verificar se 30 \% das peças produzidas apresentam falhas menores de acabamento. Em uma amostra de 100 peças, 28 apresentaram falha. Teste a hipótese a 10 \% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, a um nível de significância de 10\%, se a proporção de peças com falha de acabamento é de 30\%. Informações dadas e o que se pede:
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Número de peças com falha na amostra: x=28.
  • Proporção amostral observada: \hat{p}=\dfrac{28}{100}.
  • Proporção indicada no enunciado (hipótese a verificar): 30\%.
  • Nível de significância: \alpha=10\%.
    Pergunta clara: com esses dados, podemos rejeitar a hipótese de que a proporção verdadeira é 30\% ao nível de 10\%?

Passo 2

Formulamos as hipóteses (escolhi teste bilateral porque o enunciado diz “verificar se 30\%” — isto geralmente corresponde a confrontar igualdade contra diferença):
H_0:\; p=0{,}30
H_1:\; p\neq 0{,}30
Aqui p é a proporção verdadeira de peças com falha na população. O objetivo é verificar se a evidência da amostra contrapõe H_0.

Passo 3

Escolha do teste e condições de aplicação:
  • Usamos o teste-z para proporção (aproximação normal à distribuição binomial), cuja estatística é baseada na distribuição normal padrão.
  • Condição para usar a aproximação normal: np_0\ge 5 e n(1-p_0)\ge 5. Verifico: np_0 = 100\cdot 0{,}30 = 30 \ge 5,
n(1-p_0)=100\cdot 0{,}70 = 70 \ge 5.
Portanto a aproximação é adequada.

Passo 4

Apresento a fórmula da estatística de teste e explico cada termo:
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
onde:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra ( \hat{p}=x/n);
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui p_0=0{,}30);
  • n é o tamanho da amostra;
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0.

Passo 5

Calculo a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{28}{100}=0{,}28.

Passo 6

Calculo o erro padrão passo a passo:
p_0(1-p_0)=0{,}30\cdot 0{,}70=0{,}21.
\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}=\dfrac{0{,}21}{100}=0{,}0021.
\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{0{,}0021}\approx 0{,}0458257.

Passo 7

Calculo a estatística Z:
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0{,}28-0{,}30}{0{,}0458257}=\frac{-0{,}02}{0{,}0458257}\approx -0{,}4364.

Passo 8

Decisão pelo critério clássico (região crítica):
  • Como o teste é bilateral e \alpha=0{,}10, o nível em cada cauda é \alpha/2=0{,}05.
  • O valor crítico da normal padrão é z_{0{,}05}\approx 1{,}645.
  • Regra: rejeitar H_0 se |Z|>1{,}645.
    Comparo: |Z|=0{,}4364 < 1{,}645. Logo não rejeitamos H_0.

Passo 9

Cálculo do p-valor (para interpretação numérica):
  • p-valor bilateral = 2\cdot P(Z\le -0{,}4364).
  • Usando a tabela da normal padrão ou calculadora, P(Z\le -0{,}4364)\approx 0{,}331.
  • Assim p-valor \approx 2\cdot 0{,}331 = 0{,}662.
    Como p-valor 0{,}662 é muito maior que \alpha=0{,}10, concluímos que a evidência contra H_0 é fraca.

Passo 10

Interpretação em linguagem simples e incentivo:
  • A amostra de 100 peças com 28 defeituosas não fornece evidência suficiente para afirmar que a proporção real difere de 30\% ao nível de significância 10\%.
  • Em outras palavras: a pequena diferença observada ( 28\% vs 30\%) pode ser simplesmente variação amostral.
  • Força moral: é normal ficar inseguro — aqui os números mostram que não há sinal forte de diferença; se quiser maior sensibilidade, aumente n na próxima amostra.

Resposta

Não rejeitar H_0: p=0{,}30 ao nível de significância 10\%.
p-valor \approx 0{,}66.

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