Um programa governamental, que custa atualmente
2,5
20 %$ ao ano.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após
anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o seu limite.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o seu limite.
Passo 1
O enunciado dá um orçamento inicial de
bilhões e diz que a cada ano esse valor é reduzido em
. O conteúdo envolvido é sequência geométrica e seu comportamento assintótico (convergência e limite).
Passo 2
Como a cada ano o orçamento sofre um corte de
, o fator de multiplicação anual é
Seja
a sequência dos orçamentos em bilhões depois de
anos, com
. Então por definição de progressão geométrica temos
Passo 3
Bast a substituir
na fórmula
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Como
é uma progressão geométrica de razão
com
, ela converge. O limite de uma PG decrescente com
é zero, logo
Resposta
a)
.
b) ,
,
,
(em bilhões).
c) A sequência converge e .
b)
c) A sequência converge e