Um programa governamental, que custa atualmente R 2,5 bilhões ao ano, vai sofrer um corte em seu orçamento em relação à verba original de õççãà20 %$ ao ano.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após ao ano a) Expresse a quantia orçada para esse programa após anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o seu limite.

Passo 1

O enunciado dá um orçamento inicial de ,2,5 bilhões e diz que a cada ano esse valor é reduzido em 20%. O conteúdo envolvido é sequência geométrica e seu comportamento assintótico (convergência e limite).

Passo 2

Como a cada ano o orçamento sofre um corte de 20%, o fator de multiplicação anual é
q = 1 - 0,2 = 0,8
Seja (Bn) a sequência dos orçamentos em bilhões depois de n anos, com B0 = 2,5. Então por definição de progressão geométrica temos
Bn = B0 cdot q^n = 2,5 cdot (0,8)^n

Passo 3

Bast a substituir n=1,2,3,4 na fórmula ;Bn = 2,5,(0,8)^n:
Para n=1:
B1 = 2,5 times 0,8 = 2,0
Para n=2:
B2 = 2,5 times (0,8)^2 = 2,5 times 0,64 = 1,6
Para n=3:
B3 = 2,5 times (0,8)^3 = 2,5 times 0,512 = 1,28
Para n=4:
B4 = 2,5 times (0,8)^4 = 2,5 times 0,4096 = 1,024

Passo 4

Como (Bn) é uma progressão geométrica de razão ,q=0,8 com lvert qrvert<1, ela converge. O limite de uma PG decrescente com lvert qrvert<1 é zero, logo
limntoinfty Bn = 0

Resposta

a) ;Bn = 2,5,(0,8)^n.
b) B1 = 2,0, B2 = 1,6, B3 = 1,28, B4 = 1,024 (em bilhões).
c) A sequência converge e limntoinftyBn = 0.

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