Um projétil é lançado em uma direção inclinada em relação à horizontal. Suponha que a velocidade inicial tenha componente horizontal v1 e componente vertical v2. Nessas circunstâncias e desprezando a resistência do ar, transcorridos t segundos, as distâncias horizontal x(t) e vertical y(t) percorridas pelo projétil são dadas, respectivamente, por x(t)=v1 t e y(t)=v2 t-(g / 2) t^2.
a) Usando a definição de derivada, calcule as velocidades instantâneas, na direção horizontal e vertical, em um instante t=t0.
b) Usando o item anterior, determine, justificando a sua resposta, o instante em que o projétil atinge a sua altura máxima.
c) Usando o item anterior, determine o tempo total que o projétil permanece no ar.
d) Determine a distância entre o ponto de lançamento e o ponto em que o projétil atinge o solo.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um projétil lançado com componente horizontal de velocidade v1 e componente vertical de velocidade v2, desprezando resistência do ar. As trajetórias são
x(t)=v1t,
y(t)=v2t-g2,t^2
O conteúdo principal é cálculo de derivadas (velocidades instantâneas) e resolução de equações para achar o tempo de subida máxima, tempo total de voo e alcance horizontal.

Passo 2

Para achar a velocidade instantânea horizontal em t=t0 usamos a definição
vx(t0)=limhto0x(t0+h)-x(t0)h =limhto0v1(t0+h)-v1t0h =limhto0v1hh =v1

Passo 3

Para a componente vertical, pela definição,
vy(t0)=limhto0y(t0+h)-y(t0)h =limhto0l[v2(t0+h)-g2(t0+h)^2r] -l(v2t0-g2t0^2r)h
Explicando rapidamente: ao expandir (t0+h)^2=t0^2+2t0h+h^2, o termo em h^2 some no limite, restando
vy(t0)=v2-g,t0

Passo 4

A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical muda de positiva para negativa, isto é, quando vy(t)=0. Logo,
v2-g,t=0 Longrightarrow t=v2g

Passo 5

O tempo total de voo é o valor T>0 tal que y(T)=0. Resolvendo
v2T-g2T^2=0 Longrightarrow Tl(v2-tfracg2Tr)=0,
descartando T=0, obtemos
T=2,v2g

Passo 6

A distância horizontal (alcance) é x(T) com T=2v2/g:
xl(tfrac2v2gr) =v1,2v2g =2,v1,v2g

Resposta

a) vx(t0)=v1 e vy(t0)=v2-g,t0
b) Tempo de altura máxima: t=v2g
c) Tempo total de voo: T=2,v2g
d) Alcance horizontal: 2,v1,v2g

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