Um projétil é lançado em uma direção inclinada em relação à horizontal. Suponha que a velocidade inicial tenha componente horizontal
e componente vertical
. Nessas circunstâncias e desprezando a resistência do ar, transcorridos
segundos, as distâncias horizontal
e vertical
percorridas pelo projétil são dadas, respectivamente, por
e
.
a) Usando a definição de derivada, calcule as velocidades instantâneas, na direção horizontal e vertical, em um instante
.
b) Usando o item anterior, determine, justificando a sua resposta, o instante em que o projétil atinge a sua altura máxima.
c) Usando o item anterior, determine o tempo total que o projétil permanece no ar.
d) Determine a distância entre o ponto de lançamento e o ponto em que o projétil atinge o solo.
a) Usando a definição de derivada, calcule as velocidades instantâneas, na direção horizontal e vertical, em um instante
b) Usando o item anterior, determine, justificando a sua resposta, o instante em que o projétil atinge a sua altura máxima.
c) Usando o item anterior, determine o tempo total que o projétil permanece no ar.
d) Determine a distância entre o ponto de lançamento e o ponto em que o projétil atinge o solo.
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um projétil lançado com componente horizontal de velocidade
e componente vertical de velocidade
, desprezando resistência do ar. As trajetórias são
O conteúdo principal é cálculo de derivadas (velocidades instantâneas) e resolução de equações para achar o tempo de subida máxima, tempo total de voo e alcance horizontal.
Passo 2
Para achar a velocidade instantânea horizontal em
usamos a definição
Passo 3
Para a componente vertical, pela definição,
Explicando rapidamente: ao expandir
, o termo em
some no limite, restando
Passo 4
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical muda de positiva para negativa, isto é, quando
. Logo,
Passo 5
O tempo total de voo é o valor
tal que
. Resolvendo
descartando
, obtemos
Passo 6
A distância horizontal (alcance) é
com
:
Resposta
a)
e
b) Tempo de altura máxima:
c) Tempo total de voo:
d) Alcance horizontal:
b) Tempo de altura máxima:
c) Tempo total de voo:
d) Alcance horizontal: