Considere a função f(x)=7.5 x2 x^2+13 definida para x in R. Observe que f(1)=1 / 2.
a) Verifique que f(x)-f(1)=r(x)q(x), em que r(x) e q(x) são polinômios do segundo grau e q(x) >= 26 forall x.
b) Fatorando o polinômio r(x), determine uma constante K de forma que, se 0 <= x <= 2, então |f(x)-f(1)| <= K|x-1|.
c) Usando os itens anteriores, determine de<a>0 tal que, se 0<|x-1|<de<a, então |f(x)-f(1)|<0.1.
d) Repita o item anterior substituindo 0.1 por um valor arbitrário epsilon>0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=7,5,x2x^2+13
para xinR e observa que f(1)=tfrac12. Pede-se:
a) escrever f(x)-f(1) como tfracr(x)q(x) com r,q de grau 2 e mostrar q(x)>=26.
b) fatorar r(x) e achar K tal que, em 0<= x<=2, lvert f(x)-f(1)rvert<= Klvert x-1rvert.
c) para lvert f(x)-f(1)rvert<0,1, escolher de<a>0.
d) generalizar para epsilon>0.

Passo 2

Calculamos
f(x)-f(1) =7,5,x2x^2+13-12 =15x-(2x^2+13)2(2x^2+13) =-2x^2+15x-132(2x^2+13)
Logo podemos definir
r(x)=-2x^2+15x-13, q(x)=2(2x^2+13)=4x^2+26
Como 4x^2>=0 para todo x, segue q(x)>=26.

Passo 3

Fatoramos r(x). Note que
2x^2-15x+13 =2l(x-6,5r),(x-1),
portanto
r(x)=-2(x-6,5)(x-1)
Para 0<= x<=2 temos lvert x-6,5rvert<=6,5, então
lvert r(x)rvert =2lvert x-6,5rvert;lvert x-1rvert <=2cdot6,5;lvert x-1rvert =13lvert x-1rvert
Assim, usando q(x)>=26,
lvert f(x)-f(1)rvert =lvert r(x)rvertq(x) <=13lvert x-1rvert26 =12,lvert x-1rvert
Logo pode-se tomar K=tfrac12.

Passo 4

Para garantir lvert f(x)-f(1)rvert<0,1 basta
12,lvert x-1rvert<0,1 Long<=ftrightarrow lvert x-1rvert<0,2
Além disso queremos x em [0,2], o que vale se lvert x-1rvert<1. Logo uma escolha válida é
de<a=min0,2,,1=0,2

Passo 5

Para um epsilon>0 qualquer, a mesma desigualdade
lvert f(x)-f(1)rvert<=tfrac12,lvert x-1rvert<epsilon
lvert x-1rvert<2,epsilon
E garantindo ainda xin[0,2] por lvert x-1rvert<1, podemos escolher
de<a=min2epsilon,,1

Resposta

a) r(x)=-2x^2+15x-13, q(x)=4x^2+26 e q(x)>=26.
b) Fatorando r(x) obtemos lvert f(x)-f(1)rvert<=tfrac12lvert x-1rvert, então K=tfrac12.
c) Para lvert f(x)-f(1)rvert<0,1 basta lvert x-1rvert<0,2, logo de<a=0,2.
d) Em geral, para epsilon>0 escolhe-se de<a=min2epsilon,1.

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