Considere a função
definida para
. Observe que
.
a) Verifique que
, em que
e
são polinômios do segundo grau e
.
b) Fatorando o polinômio
, determine uma constante
de forma que, se
, então
.
c) Usando os itens anteriores, determine
tal que, se
, então
.
d) Repita o item anterior substituindo 0.1 por um valor arbitrário
.
a) Verifique que
b) Fatorando o polinômio
c) Usando os itens anteriores, determine
d) Repita o item anterior substituindo 0.1 por um valor arbitrário
Passo 1
O enunciado define a função
para
e observa que
. Pede-se:
a) escrever como
com
de grau 2 e mostrar
.
b) fatorar e achar
tal que, em
,
.
c) para , escolher
.
d) generalizar para .
a) escrever
b) fatorar
c) para
d) generalizar para
Passo 2
Calculamos
Logo podemos definir
Como
para todo
, segue
.
Passo 3
Fatoramos
. Note que
portanto
Para
temos
, então
Assim, usando
,
Logo pode-se tomar
.
Passo 4
Para garantir
basta
Além disso queremos
em
, o que vale se
. Logo uma escolha válida é
Passo 5
Para um
qualquer, a mesma desigualdade
dá
E garantindo ainda
por
, podemos escolher
Resposta
a)
,
e
.
b) Fatorando obtemos
, então
.
c) Para basta
, logo
.
d) Em geral, para escolhe-se
.
b) Fatorando
c) Para
d) Em geral, para