Em um programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Quanto tempo será necessário para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a rádio tem sempre as mesmas 10 músicas, mas muda a ordem todo dia. A pergunta: “Quanto tempo vai levar para tocar todas as possíveis sequências dessas músicas?”
Conteúdo: análise combinatória – permutação simples. Vamos usar o conceito de “fatorial” pra contar quantas sequências existem e depois converter esse número de dias em anos.

Passo 2

Primeiro, quantas sequências diferentes podemos formar com 10 músicas?
Na teoria, ordem importa e não repetimos músicas, então usamos permutação simples de 10! = 10 times 9 times 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 elementos, que é .
Aqui , logo temos
O “ ” significa fatorial, que multiplica todos os inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Calcular o valor de 10! = 10 times 9 times 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 3,628,800 :
Isso quer dizer que existem 3.628.800 sequências diferentes.

Passo 4

Como a rádio toca uma sequência por dia, vai precisar de 3.628.800 dias para esgotar todas. Agora, pra ter uma noção em anos:
anos = 3,628,800 dias365 dias/ano approx 9,943,8 anos
A gente usou 365 dias por ano, sem considerar anos bissextos, só pra ter ideia aproximada.

Resposta

Seriam necessários 3.628.800 dias, ou cerca de 9.943,8 anos, para tocar todas as possíveis sequências das 10 músicas.

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