Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais (an) tal que a1 é dado e, para todo n in N^*, tem-se que:
an+1=an+r
onde r é um número real fixo chamado razão.
Mostre que an=a1+(n-1) r;

Passo 1

O enunciado diz que uma progressão aritmética (PA) é definida por um termo inicial a1 e pela relação de recorrência an+1=an+r, onde r é a razão. Queremos mostrar que o termo geral satisfaz an=a1+(n-1)r. Vamos usar o princípio da indução matemática para isso.

Passo 2

Vamos começar pela base da indução: para n=1 temos que, pela própria definição, a1 é dado. Então é necessário verificar que a1 = a1 + (1-1)r. Observe que
a1 = a1 + 0,r = a1 + (1-1)r Portanto, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Agora supomos que a fórmula valha para um certo n arbitrário, isto é, fazemos a hipótese de indução
an = a1 + (n-1)r Devemos mostrar que, sob essa hipótese, a fórmula vale também para n+1. Usando a definição da PA temos
an+1 = an + r Substituindo a hipótese de indução em an obtemos
an+1 =  igl(a1 + (n-1)rr) + r = a1 + (n-1)r + r = a1 + n,r Por fim, notamos que n = (n+1)-1, logo
an+1 = a1 + l((n+1)-1r)r Isso conclui o passo indutivo: se vale para n, vale para n+1. Pelo princípio da indução, a fórmula está válida para todo ninN^*.

Resposta

an = a1 + (n-1)r

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