Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais
tal que
é dado e, para todo
, tem-se que:
onde
é um número real fixo, diferente de 0 e de 1 chamado razão.
Se
, mostre que
.
Se
Passo 1
O enunciado define uma Progressão Geométrica (PG) com primeiro termo
, razão
(com
e
) e soma dos
primeiros termos
. Vamos mostrar a fórmula de
usando uma técnica de multiplicar por
e subtrair.
Passo 2
Escrevemos a soma
explicitamente e depois multiplicamos ambos os lados por
, aproveitando que
. Assim temos:
e
Passo 3
Subtraímos
de
para cancelar termos intermediários. Ficamos com:
Na esquerda, fatoramos
: Agora, como
, obtemos
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
, lembrando que
. Dividindo por
chega-se à fórmula desejada. Além disso, trocando sinal em numerador e denominador, escrevemos a forma usual.