Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais (an) tal que a1 é dado e, para todo n in N^*, tem-se que:
an+1=an cdot q
onde q é um número real fixo, diferente de 0 e de 1 chamado razão.
Se Sn=a1+a2+cdots+an, mostre que Sn=a1 cdot q^n-1q-1.

Passo 1

O enunciado define uma Progressão Geométrica (PG) com primeiro termo a1, razão q (com qneq0 e qneq1) e soma dos n primeiros termos Sn=a1+a2+cdots+an. Vamos mostrar a fórmula de Sn usando uma técnica de multiplicar por q e subtrair.

Passo 2

Escrevemos a soma Sn explicitamente e depois multiplicamos ambos os lados por q, aproveitando que ak+1=akcdot q. Assim temos:
Sn=a1+a1q+a1q^2+cdots+a1q^n-1
e
qSn=a1q+a1q^2+cdots+a1q^n-1+a1q^n

Passo 3

Subtraímos qSn de Sn para cancelar termos intermediários. Ficamos com:
Sn - qSn = a1 - a1q^n
Na esquerda, fatoramos Sn: Agora, como Sn - qSn = Sn(1 - q), obtemos
Sn(1 - q) = a1(1 - q^n)
Para isolar Sn, dividimos ambos os lados por (1 - q), lembrando que qneq1. Dividindo por (1 - q) chega-se à fórmula desejada. Além disso, trocando sinal em numerador e denominador, escrevemos a forma usual.

Resposta

Sn = a1 cdot q^n - 1q - 1

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