1. De uma progressão geométrica sabe-se que: a_{1}=32 e a razão é r=\frac{1}{2}.
    a. Calcula a ordem do termo a_{n}=8.
    b. Acha a soma dos dez primeiros termos.

Passo 1

O enunciado apresenta uma progressão geométrica com primeiro termo a_1 = 32 e razão r = \tfrac12. Pede-se:
(a) a posição n do termo que vale 8;
(b) a soma dos dez primeiros termos.
Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral de P.G.
a_n = a_1\,r^{\,n-1}
e a fórmula da soma dos n primeiros termos de P.G.
S_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}.

Passo 2

Na parte (a), aplicamos a fórmula do termo geral e impomos a_n = 8:
8 = 32 \left(\tfrac12\right)^{\,n-1}.
Dividindo ambos os lados por 32, obtemos
\left(\tfrac12\right)^{\,n-1} = \tfrac{8}{32} = \tfrac14.

Passo 3

Reconhecemos que \tfrac14 = \bigl(\tfrac12\bigr)^2. Logo
n - 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad n = 3.

Passo 4

Na parte (b), usamos a fórmula da soma com a_1 = 32, r = \tfrac12 e n = 10:
S_{10} = 32\,\frac{1 - \bigl(\tfrac12\bigr)^{10}}{1 - \tfrac12}.

Passo 5

Calculamos em etapas:
\bigl(\tfrac12\bigr)^{10} = \tfrac{1}{1024}, \quad 1 - \tfrac{1}{1024} = \tfrac{1023}{1024}, \quad 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
Portanto
S_{10} = 32 \cdot \frac{\tfrac{1023}{1024}}{\tfrac12} = 32 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot 2 = 64 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{16}.

Resposta

a) n = 3
b) S_{10} = \tfrac{1023}{16}

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