É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine
, em que
e
é a superfície delimitada pelo cilindro dado por
e os planos
, sem a tampa de cima
e orientada para fora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
onde o campo vetorial é
. A superfície
é definida pelo cilindro
, entre os planos
e
, sem a tampa de cima (
), e está orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar nossa vida, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Isso vai simplificar nossa tarefa, pois calcular a integral de volume pode ser mais fácil aqui.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Agora, vamos definir o volume
que estamos integrando. É o interior do cilindro
entre
e
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 5
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então:
Agora, configuramos os limites de integração:
-
varia de a (raio do cilindro) -
varia de a (círculo completo) -
varia de a (entre os planos)
A integral tripla fica:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Resposta
A integral de superfície
vale
.