É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine integral duplaS F d S, em que F(x, y, z)=(x^3, x e^z, 3 y^2 z) e S é a superfície delimitada pelo cilindro dado por x^2+y^2=1 e os planos z=-3 e z=0, sem a tampa de cima (z=0) e orientada para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS F , d S onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x^3, x e^z, 3 y^2 z). A superfície S é definida pelo cilindro x^2+y^2=1, entre os planos z=-3 e z=0, sem a tampa de cima ( z=0), e está orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar nossa vida, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F , d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo F sobre S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Isso vai simplificar nossa tarefa, pois calcular a integral de volume pode ser mais fácil aqui.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso ao nosso F:
nabla cdot F = partial (x^3)partial x + partial (x e^z)partial y + partial (3 y^2 z)partial z
Calculando cada derivada:
partial (x^3)partial x = 3x^2
partial (x e^z)partial y = 0 (pois não há y em x e^z) ãá
partial (3 y^2 z)partial z = 3 y^2
Então:
nabla cdot F = 3x^2 + 0 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, vamos definir o volume V que estamos integrando. É o interior do cilindro x^2+y^2=1 entre z=-3 e z=0. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta
y = r sintheta
z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2, então:
nabla cdot F = 3r^2
Agora, configuramos os limites de integração:
  • r varia de 0 a 1 (raio do cilindro)
  • theta varia de 0 a 2pi (círculo completo)
  • z varia de -3 a 0 (entre os planos)
A integral tripla fica:
integral triplaV 3r^2 , dV = 3 integral0^2pi integral0^1 integral-3^0 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando:
3 integral0^2pi integral0^1 integral-3^0 r^3 , dz , dr , dtheta
Integrando em relação a z:
3 integral0^2pi integral0^1 r^3 (0 - (-3)) , dr , dtheta = 3 cdot 3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta = 9 integral0^2pi [ r^44 ]0^1 dtheta
= 9 cdot 14 integral0^2pi dtheta = 94 cdot 2pi = 9pi2

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F , d S vale dfrac9pi2.

Exercícios relacionados